Esfera perfectamente redonda en piso perfectamente plano

Question

Sé que en la práctica puede ser prácticamente imposible crear la siguiente situación, pero supongamos que me hizo un lugar perfectamente alrededor de la bola de radio r (no es que yo piense radio r es relevante) sobre una superficie perfectamente plana en el piso. Supongamos también que no hay fuerzas que actúan sobre la bola aparte de la Gravedad y la reacción de la planta. Finalmente, suponga que la bola y el suelo no puede ser comprimido en cualquier forma.

Entonces, ¿qué área de la superficie de la pelota estará en contacto con el piso?

Esta no es una tarea cuestión, sino sólo algo que me daba curiosidad. Mis pensamientos son que un ser infinitamente pequeña área (tiende a cero) de la pelota toca el suelo, pero no estoy seguro.

Answer 1

La esfera sólo en contacto con el piso en un punto, así que hay cero área de la superficie.

He aquí un argumento que es de esperar que combina la intuición física y matemática rigor desea: Por el bien de la contradicción, imaginar qué pasaría si hay dos o más puntos de intersección: Visto en el suelo, estos dos puntos están conectados por un segmento de línea recta. La esfera y la región límites formar una bola, que es convexo y por lo tanto contiene todo el segmento de línea. Pero la esfera rígida y el suelo no puede pasar a través de simpatia, por lo que el segmento de línea debe estar en su totalidad en la esfera (y no en el interior de la bola). Esto es una contradicción, porque una esfera perfectamente redonda no contiene segmentos de línea recta (ya que ningún segmento de línea puede tener todos sus puntos a la misma distancia $r$ a partir de otro punto fijo).

Desde otra perspectiva, se puede modelar esta situación con las ecuaciones: Ver la perfección de la ronda esfera de radio $r$ tal y como son definidas por $x^2+y^2+z^2=r^2$ y la superficie perfectamente plana baja por ser el plano definido por $z=-r$ (para todos los $x,y$). El único punto que satisface ambas ecuaciones (de ahí radica tanto en la esfera y el suelo) es $(0,0,-r)$. La siguiente figura muestra el caso donde $r=1$.