Vamos a centrarnos en el caso de $x \in (0,1)$, la parte difícil.
Conjetura 1 Deje $x \in (0,1)$, $ $ \int_0^x \left\{ \frac{1}{t} \right\}\,\mathrm{d}t
= 1 - \gamma + H_{\{1/x\}} - x\lfloor1/x\rfloor + \log x$$
(donde $\{x\} = x - \lfloor x\rfloor$ es la parte fraccionaria de un número y $H_n = \sum_{k=1}^n 1/k$ son los armónicos números).
Por favor, su Conjetura 1, como se indicó anteriormente, es no de acuerdo con los resultados numéricos obtenidos a partir de WA/Mathematica, al $x=\frac12, \frac13, \frac14, \cdots$. Podría usted por favor, compruebe?
Por ejemplo, usted puede encontrar que
$$
\int_0^{1/2} \left\{ \frac{1}{t} \right\}\,\mathrm{d}t = \frac32- \gamma \log 2 = 0.2296371545 ... ,
$$ whereas putting $x=1/2$ en la Conjetura 1 no da el mismo resultado (que produce un número negativo).
Podríamos sugerir el parcial siguiente conjetura.
Conjetura. Deje $q$ ser cualquier número entero tal que $q \geq 1.$ $ $ \begin{align} \int_0^{1/q} \left\{ \frac{1}{t} \right\}\,\mathrm{d}t
&= H_{q}- \gamma- \log q \qquad (*) \quad (proved)
\\
\\
\int_0^{1/q} \left\{ \frac{1}{t} \right\}^2\,\mathrm{d}t
&= H_{q}- \gamma+\log(2\pi)+2q\log q-2q-2\log(q!) \qquad (**)
\end {align}
$$
Esto coincide con las aproximaciones numéricas.
Tenemos el siguiente resultado.
La proposición. Deje $x$ ser un número real tal que $x >0$ y deje $p=1,2,3, ... .$
$$
\begin{align}
\int_0^x &\left\{ \frac{1}{t} \right\}^p\mathrm{d}t = (-1)^p \lfloor1/x\rfloor^p \left(x-\frac{1}{\lfloor1/x\rfloor+1} \right) - (-1)^p p\lfloor1/x\rfloor^{p-1} \log \left(x\lfloor1/x\rfloor+x \right) \\
&+ \sum_{k=2}^p \frac{(-1)^{p-k}}{k-1}{p \choose k} \lfloor1/x\rfloor^{p-k}\left( (\lfloor1/x\rfloor+1)^{k-1}-\frac{1}{x^{k-1}}\right) + \int_0^{{\small \displaystyle \frac{1}{\lfloor1/x\rfloor+1}}} \left\{ \frac{1}{t} \right\}^p\mathrm{d}t
\end{align}
$$
Prueba. Empezamos como aziiri hizo.
$$\begin{align}
\int_0^x \left\{\frac{1}{t} \right\}^p \mathrm{d}t & = \int_{1/x}^{\infty} \frac{\{u\}^p}{u^2} \mathrm{d}u \\
& = \int_{1/x}^{\lfloor1/x\rfloor+1} \frac{\{u\}^p}{u^2} \mathrm{d}u +\int_{\lfloor1/x\rfloor+1}^{\infty} \frac{\{u\}^p}{u^2} \mathrm{d}u \\
& = \int_{1/x}^{\lfloor1/x\rfloor+1} \frac{(u-\lfloor1/x\rfloor)^p}{u^2} \mathrm{d}u +\int_0^{{\small \displaystyle \frac{1}{\lfloor1/x\rfloor+1}}} \left\{ \frac{1}{t} \right\}^p\mathrm{d}t
\end{align}$$
a continuación, aplicamos el binomio de expansión a lo explícito de la primera integral en la última línea.
Claramente el problema se reduce a encontrar un general de la forma cerrada para las integrales
$$
\int_0^{1/q} \left\{ \frac{1}{t} \right\}^p\mathrm{d}t
$$
para$p=1,2,3, ... $$q=1,2,3, ...$.
