¿Cómo descomponer un número complejo en una suma de dos números complejos de módulo unitario?

Question

Es posible descomponer cualquier número complejo a $z = x + iy\in \mathbb{C}$ $0\leq|z|\leq2$ en una suma de dos unitario del módulo de exponenciales ? es decir,$ z = e^{i\phi_1} + e^{i\phi_2}$ ?

Traté de descomponer el problema $x + iy = \cos(\phi_1) + \cos(\phi_2) + i(\sin(\phi_1) + \sin(\phi_2)) $ en un conjunto de dos ecuaciones pero parece que ellos no son lineales :

\begin{eqnarray} \cos(\phi_1) + \cos(\phi_2) & = &x \\ \sin(\phi_1) + \sin(\phi_2) & = & y \end{eqnarray}

Si es posible, ¿hay algún algoritmo conocido ? He probado el habitual transformaciones trigonométricas sin éxito. Y a formular el problema en términos de módulo y fase en lugar de partes real e imaginaria hizo parecer más complejo.

Gracias de antemano.

Answer 1

Este documento contiene una solución de forma cerrada para una versión un poco más general del problema: hallazgo $\theta_1,\theta_2$ tal que $$\alpha_1\exp(i\theta_1) + \alpha_2\exp(i(\theta_2+\theta_1))=x+i y$de % $ $\alpha_1,\alpha_2>0$ dada y $\alpha_1=\alpha_2=1$ en el contexto de esta pregunta.

La solución es $$\theta_2=\arccos\left(\frac{x^2+y^2-\alpha_1^2-\alpha_2^2}{2\alpha_1\alpha_2}\right)$ $ $$\theta_1=\arctan(x/y) - \arctan\left(\frac{\alpha_2\sin(\theta_2)}{\alpha_1+\alpha_2\cos(\theta_2)}\right)$ $

Answer 2

Se puede ir así:

en primer lugar considerar $z$ es un número real, que $\cos \theta = z/2$, así que tenemos $z = e^{i\theta} + e^{-i\theta}$.

En general, que $z = re^{i\theta}$ y $r = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}$(As above). Entonces $z = e^{i(\theta + \alpha)} + e^{i(\theta- \alpha)}$

Answer 3

La mediatriz del segmento de conexión $z$ $0$ se cruza con el círculo unitario en dos puntos $e^{i\theta_1}$, $e^{i\theta_2}$satisfacción $e^{i\theta_1}+e^{i\theta_2}=z$.

Answer 4

Jajaja no, es porque % $ $$\left|e^{i\phi_1}+e^{i\phi_2}\right|\leqslant1+1=2.$

Answer 5

Geométricamente, es perfectamente posible: en el plano de Argand-Cauchy , considerar la imagen $M$ $z$: $0\le OM=r\le 2$ y el % de intersecciones $I$y $J$ del círculo de radio $OM$, centrado en $M$. Geometría elemental muestra que existen puntos de intersección porque es $M$ $ \le 1$ del círculo de la unidad de la distancia, el cuadrilátero $OIMJ$ es un rombo y % $ $$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}.$$z_I, z_J$son los afijos de estos puntos, esta relación de vector se traduce como $\;z=z_I+z_J$.