Si $\|x_{n+1}-x_n\|\to 0$ y $\|x_n\|$ está acotado, entonces $x_n$ converge.

Question

¿Existe una forma rápida y sencilla de demostrar que si $\|x_{n+1} - x_n\|\to 0$ y $\|x_n\|< B$ entonces $x_n$ ¿converge?

Si $\|x_n\|< B$ , entonces hay $x_{n_k}\to x^*$ (de Bolzano Weierstrass). Entonces pensé que tal vez podría escribir $$ \|x_n - x^*\| < \|x_n - x_{n-1}\| + \cdots + \|x_{n_k + 1} - x_{n_k}\| + \|x_{n_k} - x^*\| $$ donde $n_k$ es el mayor elemento de la subsecuencia que es menor que $n$ . El problema es que cuando intento ligar esto, el $\epsilon$ es un poco "dependiente" de $n$ que no es la afirmación que estamos tratando de probar.

Así que estoy un poco atascado. No he intentado asumir $x_n$ no converge para una contradicción, así que lo intentaré mientras esta pregunta. ¿Hay una forma rápida de demostrar lo que estoy buscando?

Answer 1

La afirmación dada es falsa.

Considere $\{x_n\} = \{0,1,1/2,0,1/4,1/2,3/4,1,7/8,3/4,5/8,\ldots\}$ .

Esta secuencia es acotada, y claramente no convergente (hay subsecuencias obvias que son constantes con valor 0 y 1), y por construcción $\|x_n - x_{n+1}\| \to 0$ como $n \to \infty$ .