Observación

Question

<blockquote> <p>$\def\d{\mathrm{d}}$ Si $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ y $f(x)=x+\cos x$, encontrar $$\int^{\pi}_{0}f^{-1}(x) \,\d x.$ $</p> </blockquote> <p>Prueba: poner $x=f(t)$ y $\d x=f'(t) \,\d t$, tan\begin{align*} \int^{f^{-1}(\pi)}_{f^{-1}(0)}tf'(t) \,\d t &=\int^{f^{-1}(\pi)}_{f^{-1}(0)}t(1-\sin t) \,\d t\\ &= \left.\left(t \cos t-\sin t+\frac{t^2}{2}\right)\right|^{f^{-1}(\pi)}_{f^{-1}(0)}. \end{align*}</p> <p>Alguien me podria ayudar como encontrar $f^{-1}(\pi)$ y $f^{-1}(0)$, gracias.</p>

Answer 1

Usando la gráfica y la simetría de los argumentos, podemos encontrar la integral. La gráfica de la inversa de $f(x)$ aspecto:

Ahora es posible demostrar que la inversa de la función tiene un punto de simetría $(\pi/2, \pi/2)$.

El rojo de las regiones de cancelar, y el verde de la región es la mitad del rectángulo es decir $\frac{\pi(\pi-2)}{2}$. La zona azul es $\pi$.

Así que la respuesta es $\dfrac{\pi^2}{2}$.

Answer 2

Desde $\cos(\pi-x)=-\cos x$, tenemos $$f(\pi-x)=\pi-f(x).$$ Applying $ f^{-1}$ to both sides and replacing $x$ by $f^{-1}(x) $, this gives $% $ $f^{-1}(\pi-x)=\pi-f^{-1}(x).$, $$\int^\pi_0f^{-1}(\pi-x)\,dx=\int^\pi_0(\pi-f^{-1}(x))\,dx.$$ The substitution $x\to\pi-x$ en el lado izquierdo da $$\int^\pi_0f^{-1}(x)\,dx=\pi^2-\int^\pi_0f^{-1}(x)\,dx,$ $ es decir $$\int^\pi_0f^{-1}(x)\,dx=\frac{\pi^2}2,$ $ como @Patrick Stevens adivinado de cálculo numérico en un comentario, ya.
Nota: originalmente, empecé con $x_0=f^{-1}(0)$ y que entonces debemos tener $f^{-1}(\pi)=\pi-x_0$. Si nos Conecte ambos valores en la expresión dada por el OP y uso $\sin(\pi-x_0)=\sin x_0$, $\cos x_0=-x_0$ y $\cos(\pi-x_0)=x_0$, milagrosamente se simplifica a $\pi^2/2$. Pensando en "¿por qué?", se me ocurrió con la anterior.

Answer 3

Denotan la única solución de la ecuación de $\cos t=t$ $\alpha\ (\approx0.739085)$.

Uno tiene $f'(x)=1-\sin x\geq0$ con puntos aislados de la igualdad. Sigue que $f$ es estrictamente creciente. Además, $$f(-\alpha)=-\alpha+\cos\alpha=0,\quad f(\pi+\alpha)=\pi+\alpha-\cos\alpha=\pi\ .$$ Let $g:=f^{-1}$ ser la función inversa de $f$. Entonces $$\int0^\pi g(t)>dt=\int{-\alpha}^{\pi+\alpha} g\bigl(f(x)\bigr)>f'(x)>dx=\int_{-\alpha}^{\pi+\alpha}x f'(x)>dx\ .$ $ $f'$ es incluso en relación con el punto medio ${\pi\over2}$ del intervalo de integración que reescribir el primer factor en el integral pasado como ${\pi\over2}+\bigl(x-{\pi\over2}\bigr)$ y obtener %#% $ #%