Tengo el siguiente problema:
Deje $\{x_n\}_{n\geq 1}$ ser un almacén de la secuencia de los números reales y deje $\sigma_n=\sigma_n(\alpha)$ ser una secuencia de pesos, dependiendo de un parámetro real $\alpha>0$, de tal manera que $\sigma_n>0$, $$\sum_{n\geq 1} \sigma_n<\infty$$ for all $\alfa>0$ and $\sigma_n\a 1$ as $\alpha\to 0$. Para fijar ideas, consideremos $$ \sigma_n = \frac{1}{1+\alpha n^2},$$ pero me gustaría saber si hay resultados, más en general, para $\sigma_n$ la satisfacción de las propiedades anteriores. Ahora, por la hipótesis de que sabemos que $$\sum_{n\geq 1} \sigma_n x_n$$ es absolutamente convergente para cualquier $\alpha>0$. Lo que me interesa es saber si la siguiente reescalado de la serie admite como límite $\alpha\to 0$: $$\lim_{\alpha\to 0} \frac{\displaystyle \sum_{n\geq 1} \sigma_n x_n}{\displaystyle \sum_{n\geq 1} \sigma_n}.$$ Mi intuición me dice que, desde el $\sigma_n\to 1$$\alpha\to 0$, tenderá a algún tipo de distribución uniforme, es decir, $$\lim_{\alpha\to 0} \frac{\displaystyle \sum_{n\geq 1} \sigma_n x_n}{\displaystyle \sum_{n\geq 1} \sigma_n} = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N x_n,$$ suponiendo que el lado derecho es bien definido. Así que la pregunta es: es mi intuición correcta? O es correcta en el marco adecuado supuestos en $\{x_n\}_n$ o $\{\sigma_n(\alpha)\}$?
Este no es un ejercicio, es algo que ha surgido en un proyecto en el que estoy trabajando, y por lo general no estoy de acuerdo con este tipo de problemas, de modo que no sé cómo abordarlo. Cualquier ayuda es muy apreciada.
EDIT: cuando hablo de supuestos en $\sigma_n$ me refiero a possiblle supuestos, además de los ya estoy imponente. Por otra parte, estoy más interesado en la comprensión de si el límite existe y de lo que parece, más bien, a continuación, la fuerza de la hipótesis con el fin de hacer que se convierta en lo que mi intuición me dice que debería ser. Para dejarlo claro: estoy interesada sobre todo en el caso $$\sigma_n=\frac{1}{1+\alpha n^2}$$ pero hay un montón de otras opciones de $\sigma_n$ que satisfacen los supuestos, como por ejemplo $$\sigma_n=\frac{1}{1+\alpha n^c}\ \text{ for some } c>1$$ pero también cosas como $$\sigma_n=\frac{1}{1+\alpha n!}$$ con el último ejemplo de descomposición, mucho más rápido que los demás. Así que estoy tratando de entender lo que sería el límite de la relación en el primer ejemplo, y si se iba a cambiar de tomar las otras opciones o sería el mismo.
