¿Qué significa "la definición es independiente de la elección de"?

Question

¿Qué significa "la definición es independiente de la elección de"?

Un ejemplo:

Dejemos que $W$ sea Banach y $V$ un espacio normado. Sea $X$ sea un subespacio denso de $V$ . Sea $T \in Lin(X,W)$ . Para cada $v \in V$ existe $(x_k) \in X$ s.t. $\lim_{k \rightarrow \infty} x_k = v$ .

Demostrar que la definición de $\lim_{k \rightarrow \infty} T(x_k)$ es independiente de la elección de la secuencia $(x_k)$ .

Answer 1

Significa que si se toma otro objeto satisfaciendo los supuestos entonces lo que sale es el mismo resultado. Por lo tanto, podemos definir algo sin especificar el objeto subyacente (cualquiera es bueno) que podría ser técnicamente necesario para la definición.

En tu ejemplo: si tomas otra secuencia $(y_k)\subseteq X$ tal que $\lim y_k=v$ puis $$\lim T(y_k)=\lim T(x_k)$$

(La igualdad es lo que tienes que demostrar)

Por lo tanto, se puede definir $T(v):=\lim T(x_k)$ . Esta definición es correcta debido a la independencia (la continuidad y/o linealidad de $T$ es un problema diferente). No tengo que especificar cómo construí exactamente la secuencia $(x_k)$ . Cualquiera es buena.

Answer 2

Para intuirlo, empecemos con un ejemplo más sencillo: en álgebra básica, la pendiente de una recta suele definirse mediante un cálculo basado en dos puntos distintos pero arbitrarios $(x_1, y_1), \, (x_2,y_2)$ que se encuentran en la línea:

$$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$$

Para poder describir la cantidad resultante como el pendiente de la línea en lugar de simplemente a pendiente de la recta, tienes que demostrar que esta definición de pendiente es independiente de la elección de los dos puntos. Esto significa que si $(x'_1, y'_1), \, (x'_2,y'_2)$ son otro par de puntos distintos en la línea entonces

$$ \frac{y'_2 - y'_1}{x'_2 - x'_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

(como se comprueba con un fácil argumento con triángulos similares).

Answer 3

Otro ejemplo: aritmética modular . La suma de clases de congruencia mod $m$ puede definirse como $$\overline{a} + \overline{b} = \overline{x + y}$$ para cualquier $x\in\overline{a},$ $y\in\overline{b}$ porque $\overline{x + y}$ es independiente de la elección de los representantes $x,y$ .