Uso de juegos dirigidos en la definición de redes en topología

Question

En topología, utilizamos redes en lugar de secuencias. La motivación es muy natural puesto que la secuencia no es suficientemente "largo" si los barrios de algún punto de "separan" demasiado.

Confundido acerca de lo que soy es el concepto de juego dirigido, es la única razón por qué necesitamos el conjunto dirigido porque queremos que la definición de convergencia de red para ser uniforme con el de secuencia? O hay otra razón, gracias

Answer 1

Si $(x_d)_{d\in D}$ es un netos en $X$ $(D,\preceq)$ dirigido preorder, $(x_d)$ converge a $x$ fib es , finalmente, en todos los barrios de $x$, donde el "tiempo" significa "de algunos $\underline{d}$ on": para cada vecindario $U$$x$, hay algunos $\underline{d}\in D$ tal que para todo $d \succeq \underline{d}$, $x_d \in U$.

El barrio del sistema de un punto de $x$, en un espacio de $X$ es descendente dirigido por $\subseteq$: si $U,V$ son barrios de $x$, entonces no es un barrio de $W$ $x$ tal que $W\subseteq U$ $W\subseteq V$ - es decir, $W = U\cap V$.

Tenemos que ser capaces de argumentar que para cualquier conjuntos de $A$ $B$ si $(x_d)$ es el tiempo en $A$ $(x_d)$ es el tiempo en $B$, $(x_d)$ es el tiempo en $A\cap B$. Que requieren $(D,\preceq)$ a ser dirigida garantiza que podamos.

Si las redes se definen en la no-dirigida pre-ordenes, a continuación, "límites" no tendría que ser necesariamente único, incluso en el 'nice' (por ejemplo, Hausdorff) espacios. Por ejemplo, supongamos $D = $ el infinito árbol binario - todas las secuencias finitas de $0$s y $1$s, ordenados por inclusión, es decir, de la extensión. $(D, \subseteq)$ es muy no dirigida: cualquiera de los dos incomparable secuencias finitas en $D$ difieren en algún índice, por lo tanto tienen ninguna extensión común.

Supongamos $(x_s)_{s\in D}$ es la función de $D\to\Bbb R$ tal que $$ x_s = \begin{cases} 3 &\text{if %#%#%,}\\ 5 &\text{if %#%#%,}\\ 0 \text{ (%#%#%)} &\text{if %#%#% is the empty sequence.}\\ \end{casos}$$ A continuación, $s_0 = 0$ es, finalmente, en todos los barrios de $s_0 = 1$ (por cada extensión de $arbitrarily$ de $s$, $(x_s)$ es en todos los barrios de $3$), y es, finalmente, en todos los barrios de $s$ (tome $\underline{s} = \langle 0 \rangle$).