polinomios ortonormales

Question

Esta es la pregunta:

Supongamos que $P_0, P_1, P_2, \dots$ son polinomios ortonormales con respecto al producto interior $$(f,g)=\int_a^b f(x)g(x)W(x)dx,$$ donde $W(x) > 0$ es una función de peso y $P_n$ es de grado $n$ . ¿Es cierto que $P_n$ tiene $n$ raíces distintas en $(a,b)$ ?

Claramente $P_0$ no tiene raíces y como $(P_0,P_1)=0$ Lo sé. $P_1$ debe cruzar el $x$ -eje al menos una vez, de lo contrario la integral no sería igual $0$ Así que $P_1$ tiene una raíz en $(a,b)$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo probar esto para un $n$ -valor (si es cierto). Agradecería cualquier consejo.

Answer 1

Esto es cierto. La prueba que conozco es hermosa pero bastante inteligente en mi opinión.

Porque $\deg P_k = k$ para todos $k$ , se obtiene $\mathbb{R}_{n-1}[X] = \textrm{Span}(P_0, \ldots, P_{n-1})$ . Y debido a la ortogonalidad, si $\deg f < n$ entonces $(f, P_{n}) = 0$ .

Ahora, dejemos que $r_1, \ldots, r_k$ sean las raíces de $P_n$ que están en $[a,b]$ y tienen una multiplicidad impar (si la hay). Denotemos $Q = (X-r_1) \ldots (X-r_n)$ y escribir $P_n = Q R$ . Todas las raíces de $R$ en $[a,b]$ tienen una multiplicidad par, por lo que $R$ no cambia de signo en $[a,b]$ . Para concluir, necesitamos mostrar $\deg Q = \deg P_n$ . Si asumimos $\deg Q < \deg P_n$ entonces tendríamos

$$(Q, P_n) = 0$$

Así que tendríamos

$$\int_a^b Q^2 R w = 0$$

Pero la función $Q^2 R w$ no cambia de signo en $[a,b]$ Así que $Q^2 R w= 0$ . Esto es obviamente imposible, así que $\deg Q = \deg P_n$ que concluye.