Mostrar que $\dim H^0(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(m)) = {n + m \choose n}$ si $m \geq 0$ y $0$ lo contrario.

Question

Mostrar que $\dim H^0(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(m)) = {n + m \choose n}$ si $m \geq 0$, e $0$ si $m < 0$. Esta declaración se produjo en una geometría algebraica texto sin explicación, y estoy tratando de entender por qué es verdad.

Pensamientos hasta el momento:

Desde $H^0(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(m))$ es el espacio vectorial de regular las secciones de $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(m)$$\mathbb{P}^n$, podemos tratar de encontrar una base. Desde los tramos regulares son el grado $m$ polinomios en $x_0, \dots, x_n$, parece que la colección de grado $m$ monomials en $x_0, \dots, x_n$ debería funcionar. Pero no veo cómo hay ${n + m \choose n}$ de estos. Es sólo una base de contar el argumento de que estoy luchando?

En una nota de lado, creo que entiendo lo global secciones de $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(m)$ aspecto, pero ¿cómo podemos describir el ordinario de secciones de más de un distinguido conjunto abierto $D(f)$? Es algo así como el grado $m$ polinomios con denominador $f$?

Answer 1

Creo que es, de hecho, sólo el fondo de contar el argumento de que se carece. A ver que no se $\binom{n+m}{n}$ monomials en $x_0,\ldots, x_n$ grado $m$, para mí es útil pensar en el equivalente a la pregunta: ¿de cuántas maneras distintas se puede dividir $m$ sin etiquetar bolas entre $n+1$ etiquetado contenedores (correspondientes a las variables de $x_0,\ldots, x_n$)? Cualquier división puede ser representado (exclusivamente) por una representación pictórica de bolas " O " dividido por líneas '|'. Por ejemplo, la imagen

OOO|O||OO|S

representa una forma de división de las 7 bolas en 5 contenedores etiquetados. El primer bin tiene 3 bolas, el segundo tiene la 1, la tercera está vacía, el cuarto tiene 2, y el quinto contenedor tiene 1 balón. En términos de monomials, se podría pensar en esto como el monomio $x_0^3x_1x_3^2x_4$.

Esto establece un bijection entre divisiones posibles (es decir, monomials) y las cadenas de longitud $n+m$ consta de $m$ pelotas 'O' e $n$ líneas '|'. Cualquier cadena está determinada únicamente por la elección de la posición de las líneas, es decir, en la elección de un conjunto de $n$ posiciones de un total $n+m$ posiciones. Así, el número total de monomials es $\binom{n+m}{n}$.

Espero que esta respuesta fue clara!

Answer 2

Acerca de su nota al margen de la cuestión:

Si $f\in H^0(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(m))$ es un polinomio homogéneo de grado $m$, entonces el subconjunto abierto $D(f)\subset \mathbb{P}^n$ es una variedad afín (esto puede ser visto con el Veronese incrustación de grado $m$).
La restricción de $ \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(m))$ $D(f)$es el trivial de la línea de paquete.
El $k$-álgebra $ H^0(D(f), \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(m))=H^0(D(f), \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n})$ luego de dimensiones infinitas, y así también es el espacio de secciones de cualquier línea de paquete en la $D(f)$.
En realidad, cualquier línea de paquete en la $D(f)$ es la restricción de algunos de la línea de paquete en la $\mathbb{P}^n$ debido a la secuencia exacta $$\mathbb Z\to \text {Cl}(\mathbb{P}^n)\to \text {Cl}(D(f))\to 0$$ (Hartshorne II, Prop. 6.5 (c))

El ejemplo más sencillo es tomar el $f=x_0^m\in H^0(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(m))$, por lo que el $D(f)=\mathbb A^n$ y desde todos los paquetes de $L$ $\mathbb A^n$ son triviales, tenemos $$H^0(\mathbb{A}^n_k, L)=H^0(\mathbb{A}^n_k, \mathcal O)=k[x_0,\cdots ,x_n] $$