Encontrar todas las soluciones de la ecuación funcional $f(x+y)-f(y)=\frac{x}{y(x+y)}$

Question

Encuentra todas las soluciones al fu $f(x+y)-f(y)=\cfrac{x}{y(x+y)}$

He probado la técnica de sustitución pero no he conseguido nada útil.

Para $y=1$ Tengo

$F(x+1)-F(1)=\cfrac{x}{x+1}$

Un patrón que he encontrado en este ejemplo es que si itero $n$ veces la función $g(x)=\cfrac{x}{x+1}$ Tengo que $g^n(x)=\cfrac{x}{nx +1}$ lo que puede ser una pista sobre el comportamiento general de la función ( ?) .

Estoy realmente un poco despistado, parece que el problema es llamar a alguna manera hábil de resolverlo.

¿Pueden darme una pista?

Answer 1

$f(x+y)-f(y) =\cfrac{x}{y(x+y)} =\frac1{y}-\frac1{x+y} $ así que $f(x+y)+\frac1{x+y} =f(y)+\frac1{y} $ .

Por lo tanto, $f(x)+\frac1{x}$ es constante, así que $f(x) =d-\frac1{x} $ para algunos $d$ .

Sustituyendo esto, el $d$ s se anulan, por lo que cualquier $d$ obras, y la solución es $f(x) =d-\frac1{x} $ para cualquier $d$ .

Answer 2

Pista: Sea $x=1-y$ Por lo tanto $x+y=1$ .

Entonces obtenemos $$f(1)-f(y)=\frac{1-y}{y}$$

Incluiré la solución completa en un spoiler, ya que sólo pediste una pista.

Esto da $f(0)=c$ y $f(1)=d$ entonces $f(y)=\frac{y-1}{y}+d$ para todos los demás $y$ .
Esto se simplifica a $f(0)=c$ y $f(y)=\frac{y-1}{y}+d$ para todos los demás $y$ . Tenemos que comprobar si cada una de estas funciones satisface. Obsérvese que ni $y$ ni $x+y$ nunca puede ser cero, por lo que $f(0)$ puede ser cualquier cosa. Ahora tenemos que comprobar los demás valores: ¿Tiene

$$\left(\frac{x+y-1}{x+y} + d\right) - \left(\frac{y-1}{y} +d \right) = \frac{y}{y(x+y)} ?$$ $$\frac{y(x+y-1)-(y-1)(x+y)}{y(x+y)} = \frac{y}{y(x+y)} ?$$
Resulta que las funciones sí satisfacen la ecuación funcional.

Answer 3

Otro enfoque: Asumo que $f$ es una función de una sola variable real.escriba la ecuación definitoria como $\frac{f(y+x) - f(y)}{(y+x)- y} = \frac{1}{y(x+y)}$ (para $x,y,(x+y) \neq 0).$ Tome el límite como $x \to 0$ . Por un lado, este límite es $\frac{1}{y^{2}}.$ Por otra parte, el límite es, por definición, la derivada $f^{\prime}(y)$ (y hemos demostrado que existe para $y \neq 0$ ). Una antiderivada de $\frac{1}{y^{2}}$ es $\frac{-1}{y}$ . Por lo tanto $f(y) = \frac{-1}{y} + C$ para una constante $C$ siempre que $y \neq 0$ . (En sentido estricto, esto demuestra que cualquier función $f$ que satisfaga la ecuación tiene que ser de la forma descrita. Hay que comprobar que tales funciones satisfacen la ecuación, pero lo hacen).