Algunos operadores autoadjuntos relevantes en QM, como los proyectores ortogonales, están realmente acotados, pero son muy pocos en QM. La acotación equivale al hecho de que el rango de valores del observable, es decir, el espectro $\sigma(A)$ del operador asociado $A$ está acotado en vista de la identidad del radio espectral, $$||A||= \sup\{|\lambda| \:|\: \lambda \in \sigma(A)\}\:.$$ Sin embargo, la mayoría de los observables alcanzan valores arbitrariamente grandes (pensemos en los observables de posición o de momento).
A su vez, la definición de operador adjunto y el teorema del grafo cerrado demuestran que la acotación de un operador autoadjunto $A :D(A) \to \cal H$ equivale a $D(A)=\cal H$ . Esto explica por qué la mayoría de los observables en QM están representados por operadores autoadjuntos cuyo dominio -siempre denso, pues de lo contrario el adjunto no está definido- no coincide con todo el espacio de Hilbert.
En cuanto a la invariabilidad del dominio, es decir, la propiedad $$A(D(A))\subset D(A)$$ el texto está un poco equivocado, ya que el valor de expectativa $<A>_\psi$ no se ve afectada por la no invariabilidad del dominio. Satisface, para un estado puro definido por el vector unitario $\psi$ , $$<A>_\psi = \langle \psi|A \psi \rangle\:.\tag{0}$$ Usted ve que $\psi \in D(A)$ es suficiente para garantizar la validez de esa identidad.
Con respecto a incertidumbres $\Delta A_\psi$ El texto citado puede ser correcto ya que satisfacen $$\Delta A_\psi^2 = \langle \psi|A^2 \psi \rangle - \langle \psi|A \psi \rangle^2\tag{1}$$ y se ve que la primera terma de la derecha necesita que $A(A\psi)$ estar bien definido, es decir $A\psi \in D(A)$ para $\psi \in D(A)$ . En cambio, la invariabilidad del dominio sí importa.
Por último, en cuanto a relaciones de conmutación ya que implican la composición de operadores $AB$ y $BA$ , correspondiente a invarianza cruzada propiedades deben mantenerse: $$A(D(B)) \subset D(A)\quad \mbox{and}\quad A(D(A)) \subset D(B)\:.$$
Conviene hacer algunos comentarios finales. Estrictamente hablando, (0) no es el definición de valor de expectativa de $A$ y (1) no es el definición de incertidumbre de $A$ en el estado puro definido por el vector unitario $\psi$ También si son propiedades importantes. Las verdaderas definiciones, respectivamente, son $$<A>_\psi := \int_{\sigma(A)} \lambda d\langle\psi|P^{(A)}(\lambda)\psi\rangle\tag{2}$$ y $$\Delta A_\psi^2 := \int_{\sigma(A)} (\lambda- <A>_\psi)^2 d\langle\psi|P^{(A)}(\lambda)\psi\rangle\tag{3}$$ donde he introducido la medida espectral de $A$ , $P^{(A)}$ . El lado derecho de (3) está bien definido siempre que $$\int_{\sigma(A)} \lambda^2 d\langle\psi|P^{(A)}(\lambda)\psi\rangle < +\infty\tag{4}$$ y esta es otra forma de escribir $\psi \in D(A)$ . Por lo tanto, incluso en este caso, la invariabilidad de $D(A)$ no es necesario. Obviamente (1) es válido a partir de (3) cuando $\psi \in D(A^2)$ y es falso en general aunque se mantiene en una forma más débil $$\Delta A_\psi^2 = \langle A\psi|A \psi \rangle - \langle \psi|A \psi \rangle^2\tag{1'}\:.$$ Asimismo, $<A>_\psi$ está bien definido si $\psi \in D(\sqrt{|A|})$ que es una condición más débil que $\psi \in D(A)$ .
