¿Pocas soluciones para $a_1+a_2=n$ implica pocas soluciones al $2a_1+a_2=n$?

Question

Deje $\mathscr{A}\subseteq\mathbb{N}$ ser un subconjunto infinito de $\mathbb{N}$, y supongamos que $$s(n) := |\{(a_1,a_2)\in \mathscr{A}^2 : a_1+a_2 = n\}|$$ es uniformemente acotada para cada $n$ (es decir, no es $M>0$ s.t. $s(n) < M,\forall n\in\mathbb{N}$).

¿Esto implica que el número de soluciones a $$2a_1+a_2 = n,\quad a_1,a_2 \in\mathscr{A}$$ también es uniformemente acotada para todos los $n$?

Yo creo que puede ser falsa, pero estoy teniendo problemas para venir para arriba con un contraejemplo. Pensé que algunas IP set de ofrecer ese tipo de ejemplo (por ejemplo,$\{n:n\text{ has only $1$s on its $3$-adic expansion}\}$), pero creo que la IP fija, en general, no incluso satisfacer la premisa.

También probé con un par de cosas para probar que es cierto (como considerar $\hat{a}_1+2\hat{a}_2=m$ y sumar ambas ecuaciones), pero no funcionó. Cualquier sugerencias?

Answer 1

Hay conjuntos tales que las soluciones a $a+b = n$ están delimitadas por $1$ y soluciones a $2a+b=n$ son ilimitados.

Suponga que tiene un conjunto finito $\mathcal A$ del tamaño de la $k$ y un entero grande $N$. Si intenta agregar un par de $(a,N-2a)$ sin hacer una redundancia ecuaciones $a+b=n$, se presenta en la mayoría de sólo $2k^3+2k^2$ prohibido valores de $a$.

En particular, si $2(k+2m-1)^3 + 2(k+2m-1)^2 < (N-2)/2$, entonces usted tiene suficiente espacio para recoger $m$ pares en una fila.

Ahora, para construir un conjunto tal que forall $m$ no es un porcentaje ($N_m$tal que $2a+b = N_m$ tiene al menos $m$ soluciones, usted puede simplemente recoger $N_m > 2+4[(k+2m-1)^3+(k+2m-1)^2]$ donde $k=2+4+\ldots+(2m-2)$ y elegir los pares de una en una.