Método de solución no homogénea de la ecuación de recurrencia

Question

Necesito obtener una forma cerrada de $M(t)$, que satisface la siguiente ecuación de recurrencia:

$$M(t+1)=a+bM(t)+\frac{c}{t+1}\sum_{t'=0}^tM(t')+df(t)$$

Donde $f(t)$ es una función conocida y $a$, $b$, $c$ y $d$ son conocidos constantes. Y con la condición inicial $M(t=0)=0$.

Nunca he resuelto una ecuación de este tipo, por lo que le estoy pidiendo un conocido analythic método para la obtención de una forma cerrada de la función $M(t)$. Tal vez un libro de referencia puede ayudar, o sólo el nombre de un método de solución.

Answer 1

Hay, me temo, no hay mucho que hacer para bajar los valores de $t$. Pero el asymptotics para $t\to\infty$ podría ser razonablemente estimado, dependiendo de los valores de los parámetros. Por ejemplo, si $b>0$, escribir $h(t)=tb^{-t}M(t)$ y considerar la ecuación funcional $$h(t+1)=\frac{t+1}th(t)+(t+1)b^{-t-1}\left(a+df(t)\right)+\frac cb \frac {t+1}{t}\int_0^tb^{u-t}h(u)\frac{\mathrm du}u$$ que es equivalente a su ecuación de recurrencia. Como $t\to\infty$, uno puede expandirse $h(t+1)$ a la primera orden y de la negligencia de la segunda orden de los términos en $t$ (es decir, el uso de $t+1\simeq t$) y más direccionable ecuación $$h'(t)=tb^{-t}\left(a+df(t)\right)+\frac cb\int_0^tb^{u-t}h(u)\frac{\mathrm du}u.$$

A partir de ahí, todo depende de la función de $t\mapsto tb^{-t}\left(a+df(t)\right)$. Es imposible decir algo general y usted probablemente tendrá que distinguir los casos, que es encontrar cuál es el término que conducen el comportamiento asintótico.

Sin embargo, en el caso de que la función de $t\mapsto tb^{-t}(a+df(t))$ está limitada puede utilizar Grönwall la desigualdad para acotar la solución. Digamos que $tb^{-t}(a+df(t))$ entre $A>0$ $B>0$ para suficientemente grande $t$. Desde la antiderivada de $u\mapsto b^u/u$$u\mapsto\mathrm{Ei}\left(u\log b\right)$, se obtiene el comportamiento asintótico de $h$ aproximadamente el$h(t)\sim \exp\left(\frac cb \mathrm {Ei}(t \log b)\right)$, lo que da $$M(t)\sim \frac{b^t}t\exp\left[\frac cb\mathrm{Ei}\left(t\log b\right)\right].$$ The leading constant would be in that case a number between $UN$ and $B$.

Answer 2

Tengo una solución explícita, que me obtenidos mediante el método de generación de funciones. En primer lugar, calcular lo que me llama $P_n(1)$ a partir de una relación de recurrencia. A continuación, utilice los para calcular los valores explícitos de $M(k)$. $P_n(1)$ es la suma de los $M(k)$ de los valores, para $0 \le k \le n$. Usted incluso no necesita computar todos los $P_n(1)$ valores antes de tiempo. Usted puede calcular el $P$'s y el $M$'s en alternancia (una $P$,$M$,$P$,$M$, etc).

$ \begin{array}{rcl} P_n(1) &\!\!\!=&\!\!\! \sum_{k\,=\,1}^{n} b^k \sum_{j\,=\,0}^{k-1} \frac{\displaystyle (j+1)\,[\,a + d\,f(j)\,] + c\,P_j(1)}{\displaystyle (j+1)\,b^{j+1}} \qquad (n \ge 1) \\[0.2in] % M(k) &\!\!\!=&\!\!\! b^k \sum_{j\,=\,0}^{k-1} \frac{\displaystyle (j+1)\,[\,a + d\,f(j)\,] + c\,P_j(1)}{\displaystyle (j+1)\,b^{j+1}} \qquad (k>0)\,. \end{array} $

Ahora, la prueba de este resultado me llevó 4 páginas de Látex, con una gran cantidad de macros de mis propias que no son compatibles con el Látex motor de aquí, así que no estoy seguro de cuál es la mejor manera de compartir que es la prueba. Por ahora, voy a publicar capturas de pantalla.

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