La familia de primer ideales en $\mathbb{Z}[x,y]$

Question

Problema: vamos a $m$ ser un entero positivo. Encontrar una condición necesaria y suficiente en $m$, de modo que $I=(m, x^2+y^2)$ es un alojamiento ideal en $R=\mathbb{Z}[x,y]$.

Una sencilla condición necesaria es: $m$ es un número primo, y $m\neq 2$. (de hecho, si $m=2$, $x^2+2xy+y^2\in I\Rightarrow (x+y)^2\in I$ pero $x+y\notin I$). Estoy atascado demostrar suficiencia (no sé si esto es realmente una condición suficiente).

Answer 1

Las condiciones de $m\neq2$ $m$ prime son, de hecho, necesario pero no suficiente.
Así que, a la inversa, dada una extraña prime $m=p$ ¿cuál es la condición para $I$ a ser el primer o, equivalentemente, para el anillo de $(\mathbb Z/p\mathbb Z)[X,Y]/(X^2+Y^2)= \mathbb F_p[X,Y]/(X^2+Y^2)$ a de un dominio ?
Desde $\mathbb F_p[X,Y]$ es una única factorización de dominio, la condición es exactamente el mismo que el polinomio $X^2+Y^2$ ser irreductible en $\mathbb F_p[X,Y]$.
Un poco de cálculo (que voy a dejar a usted) muestra que este es el caso exactamente si $-1$ es no una plaza en $\mathbb F_p$. Y, finalmente, decidir si $-1$ es un cuadrado modulo $p$ es muy clásica pregunta que usted puede buscar en un libro de texto o resolver por sí mismo, utilizando el resultado de que el grupo multiplicativo $\mathbb F_p^*$ es cíclica, es decir la respuesta implica que el residuo modulo $4$$p$) .