Cálculo vectorial y de Frenet-Serret ecuaciones

Question

Me han mostrado los dos primeros igualdad y estoy trabajando en la que muestra el 1 es igual a la 3ª.

\begin{alignat*}{4} \frac{1}{\rho}\hat{\mathbf{{n}}} &= \frac{d\hat{\mathbf{{u}}}}{ds} &{}= \frac{\dot{\hat{\mathbf{{u}}}}}{\dot{s}} &{}= \left((\dot{\mathbf{r}}\cdot\dot{\mathbf{r}})\ddot{\mathbf{r}} - (\dot{\mathbf{r}}\cdot\ddot{\mathbf{r}})\dot{\mathbf{r}}\right) \frac{1}{\dot{r}^4} \end{alignat*}

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$$ \frac{1}{\rho}\hat{\mathbf{{n}}} = \frac{\dot{\hat{\mathbf{{u}}}}}{\dot{s}} $$ Sabemos que $\mathbf{v} = \frac{ds}{dt}\frac{dr}{ds}$ donde$\dot{s} = v$$\hat{\mathbf{u}} = \frac{dr}{ds}$.

Por lo $\mathbf{v} = v\hat{\mathbf{u}}\iff \dot{\hat{\mathbf{u}}} = \frac{1}{v}\frac{d\mathbf{v}}{dt}$.

A continuación,$\frac{\dot{\hat{\mathbf{{u}}}}}{\dot{s}} = \frac{1}{v^2}\frac{d\mathbf{v}}{dt}$.

Sé que $$ \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{dv}{dt}\hat{\mathbf{u}} + \frac{v^2}{\rho}\hat{\mathbf{n}}. $$ A continuación,$\frac{\dot{\hat{\mathbf{{u}}}}}{\dot{s}} = \frac{1}{v^2}\frac{dv}{dt}\hat{\mathbf{u}} + \frac{1}{\rho}\hat{\mathbf{n}}$. Por lo tanto, $\frac{1}{v^2}\frac{dv}{dt}\hat{\mathbf{u}} = 0$ pero, ¿cómo puedo demostrar que esto es $0$?

Answer 1

Hay un error en el cálculo de $\dot {\hat {\mathbf u}}$.
Utilizando la regla del producto, usted tiene$$\dot {\hat {\mathbf u}}=-\frac {\dot v}{v^2}\mathbf v + \frac 1{v}\dot {\mathbf v}=-\frac {\dot v}{v}\hat{\mathbf u} + \frac 1{v}\dot {\mathbf v}$$y por lo tanto $$\frac {\dot {\hat {\mathbf u}}}{v}=\frac 1{v^2}(-\dot v\, \hat{\mathbf u}+\dot {\mathbf v})=\frac 1{v^2}\left(-\dot v\, \hat{\mathbf u}+\dot v\, \hat{\mathbf u}+ \frac {v^2}{\rho}\hat {\mathbf n}\right)==\frac 1{\rho}\hat {\mathbf n}$$