Esta pregunta está motivada por ¿Qué variedades están limitadas por RP^impar? (así como una pregunta que me hizo un compañero de posgrado) pero parece que no puedo generalizar ninguna de las respuestas proporcionadas a este escenario.
Permítanme dar algunos antecedentes. Tomemos todos los grupos de (co)homología con $\mathbb{Z}_2$ coeficientes.
Dada una variedad lisa y compacta $M^n$ , dejemos que $w_i = w_i(M)\in H^i(M)$ denotan las clases de Stiefel-Whitney de (el haz tangente de) M. Sea $[M]\in H_n(M)$ denotan la clase fundamental (mod 2). Consideremos los números de Stiefel-Whitney de $M$ definido como el conjunto de todas las salidas de $ \langle w_{i_1}...w_{i_k} , [M] \rangle$ . Por supuesto, esto sólo es interesante cuando $\sum i_{j} = n$ .
Pontrjagin demostró que si $M$ es el límite de alguna colecta compacta n+1, entonces todos los números de Steifel-Whitney son 0. Thom demostró lo contrario - que si todos los números de Stiefel-Whitney son 0, entonces $M$ se puede realizar como un límite de alguna colecta compacta n+1.
Como un rápido aparte, la característica de Euler $\chi(M)$ mod 2 es igual a $w_n$ . Por lo tanto, vemos inmediatamente que si $\chi(M)$ es impar, entonces $M$ NO es el límite de una variedad compacta.
Como corolario inmediato de esto, ninguno de $\mathbb{R}P^{even}$ , $\mathbb{C}P^{even}$ , ni $\mathbb{H}P^{even}$ son límites de variedades compactas.
A la inversa, se puede demostrar que todos los números de Stiefel-Whitney de $\mathbb{R}P^{odd}$ , $\mathbb{C}P^{odd}$ y $\mathbb{H}P^{odd}$ son 0, por lo que todos estos colectores se pueden realizar como límites.
¿Cuál es un ejemplo de colector $M$ avec $\partial M = \mathbb{H}P^{2n+1}$ (y por favor, asuma que $n>0$ como $\mathbb{H}P^1 = S^4$ es obviamente un límite)?
La pregunta para $\mathbb{R}P^{odd}$ se responde en el enlace de la parte superior. La pregunta para $\mathbb{C}P^{odd}$ es similar, pero ligeramente más difícil:
Considere las inclusiones (estándar) $Sp(n)\times S^1\rightarrow Sp(n)\times Sp(1)\rightarrow Sp(n+1)$ . La fibra homogénea asociada viene dada por
$$Sp(n)\times Sp(3)/ Sp(n)\times S^1\rightarrow Sp(n+1)/Sp(n)\times S^1\rightarrow Sp(n+1)/Sp(n)\times Sp(1),$$ que probablemente se reconoce mejor como
$$S^2\rightarrow \mathbb{C}P^{2n+1}\rightarrow \mathbb{H}P^{n}.$$
Uno puede "rellenar las fibras" - llenar el $S^2$ a $D^3$ para conseguir un colector compacto $M$ con límite igual a $\mathbb{C}P^{2n+1}$ .
Me encantaría ver $\mathbb{H}P^{odd}$ descrito de manera similar, pero no sé si esto es posible.
Asumiendo que es imposible describir $\mathbb{H}^{odd}$ como en el caso anterior, todavía me gustaría una respuesta en la línea de "si se hace este sencillo proceso a esta clase de espacios de uso frecuente, se obtienen las variedades que se buscan".
Gracias de antemano.
