Vi a este problema en la Resolución de problemas a través de Problemas del libro de Larson (# 3.3.25 b).
Llegué a aquí:
$$x \log(x) = y\log\left(1+ \frac yx\right)$$
Pero me parece que no puede encontrar una manera de reducir este aún más.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
He aquí una solución parcial. La primera parte es para general $x,y$ y es incompleta. La segunda parte es una solución completa para el entero $x,y$.
Parte 1: Set $z=x+y$. Entonces usted puede reordenar como $$x^zz^x=z^z$$
Ahora, estas son las fracciones, a fin de establecer $x=\frac{a}{b}$, $z=\frac{c}{d}$. Supongamos, sin pérdida de ese $a,b$ son relativamente primos, y así se $c,d$. Tenemos $$\left(\frac{a}{b}\right)^z\left(\frac{c}{d}\right)^x=\left(\frac{c}{d}\right)^z$$ o $$a^z c^xd^z=c^zb^zd^x$$ Para borrar denominadores elevar ambos lados de la $bd$ de la potencia, para obtener $$a^{bc}c^{ad}d^{bc}=c^{bc}b^{bc}d^{ad}$$ Becase $z>x$ tenemos $bc>ad$. Set $k=bc-ad>0$ por conveniencia. Dividimos y obtener $$a^{bc}d^{k}=b^{bc}c^{k}$$ Por último, tenemos una expresión con números enteros positivos. Debido a $a,b$ son relativamente primos, $a^{bc}|c^{k}$$b^{bc}|d^k$. Debido a $c,d$ son relativamente primos, $c^{k}|a^{bc}$$d^k|b^{bc}$. Por lo tanto $a^{bc}=c^k$$b^{bc}=d^k$.
Ahora, reorganizar $a^{bc}=c^{bc-ad}$ conseguir $c^{ad}=(c/a)^{bc}$. Desde $c$ es un número entero, $a|c$. Del mismo modo, reorganizar $b^{bc}=d^{bc-ad}$ conseguir $d^{ad}=(d/b)^{bc}$, a la conclusión de $b|d$. Estos son útiles, pero no te da explícitamente todas las soluciones racionales.
Parte 2: Si asumimos entero soluciones (no racional), a continuación,$c=d=1$. Debido a $a|c$ podemos escribir $c=aq$. Ahora $a^{bc}=c^k$ hace $$a^{aq}=(aq)^{aq-a}$$ Si $a=1$,$q=c=1$, lo cual es imposible ya que $y>x$. De lo contrario, tomamos los registros, obtención de $$aq \ln a = a(q-1) (\ln a + \ln q)$$ This rearranges to $$\frac{q}{q-1}\ln a=\ln a + \ln q$$ Divide by $\ln un$ (since $>1$), subtract 1, and add fractions to get $\frac{1}{q-1}=\frac{\ln p}{\ln un}$. Cross-multiply and exponentiate to get the final solution $$a=q^{q-1}$$ Esto funciona para cualquier natural $q$; tomamos $a=q^{q-1}, c=aq=q^q, b=c-a=a(q-1)$. En particular, este se encuentra Oleg soluciones (de $q=2,3$), pero también se $(64,192)$ (correspondiente a $q=4$), etc.
