La analítica de las funciones de valor absoluto 1 en el límite de la unidad de disco

Question

Hay una caracterización de las funciones analíticas $f$ en la unidad de disco tal que $|f(z)|=1$$|z|=1$? Si $f$ sólo tiene un cero $a\in D(0,1)$ orden $n$, $f(z)=\phi_a(cz^n)$ para algunas constantes $|c|=1$ donde $\phi_a$ es la transformación de Möbius en $a$. Uno puede recorrer en este proceso, en el caso de $f$ tiene distintas ceros, pero hay un limpiador de fórmula de algo que se parece a $\phi_{a_1}(c_1z^{n_1}\phi_{a_2}(c_2 z^{n_2}\cdots \phi_{a_N}( c_N z^{n_N})\cdots)$? Gracias!

Answer 1

Supongo que su función es analítica en el abierto de la unidad de disco y continua en el cerrado de la unidad de disco. Se tiene un número finito de ceros $z_j, j=1 \ldots n$ (contado por el mutliplicity). Podemos ampliar la definición para el complemento de la disco en la esfera de Riemann por $f(z) = 1/\overline{f(1/\overline{z})}$ ($\infty$ si $f(1/\overline{z}) = 0$). Así ampliado, tiene una analítica de la función de la esfera de Riemann a sí mismo, y esto debe ser una función racional (con polos en $1/\overline{z_j}$). Ahora $f(z) \prod_{j=1}^n \frac{1 - \overline{z_j} z}{z_j - z}$ no tiene polos o ceros y debe ser constante. Llegamos a la conclusión de que $f$ es de un número finito de Blaschke producto.