Alguien ha visto a este patrón que se evalúa a $-\frac{1}{3}$ siempre?

Question

Recientemente se me hace garabatos y se topó con un patrón interesante.

Comienzan con $0$, añada $1$, restar $2$, divida por $3$, y multiplicar por $4$. A continuación, agregue $5$, restar $6$, divida por $7$, y multiplicar por $8$. Esperamos que sea claro lo que estoy haciendo.

$$ \frac {\frac {0+1-2}{3} * 4 +5-6} {7} *8\dots$$

Después de cada paso de división (después de bucear por $3$ o $7$ o $11$, y así sucesivamente ...), la función se evalúa a $-\frac{1}{3}$.

Alguien ha visto esto, y si es así, ¿dónde? Puede que alguien piense en el uso práctico, o es simplemente una interesante peculiaridad?

Gracias, a todos.

Answer 1

Para $n \neq -3$:

$$\frac{-\frac{1}{3} (n) + (n+1) - (n+2)}{n+3} = -\frac{1}{3}$$

Answer 2

Tenga en cuenta la más reciente división, por $4k-1$ (primeros 3, 7, 11, etc.)

Esta división de los rendimientos de $-\frac{1}{3}$, después de lo cual se multiplica por $4k$, añada $4k+1$, restar $4k+2$, y dividir por $4k+3$:

$$ \frac{-\frac{1}{3}\cdot 4k+(4k+1)-(4k+2)}{4k+3} =\frac{-\frac{4}{3}k-1}{4k+3} =-\frac{1}{3} $$