¿Es una función globalmente Lipschitz continuo y $\mathcal{C}^1$ si y solamente si es $\mathcal{C}^1$ y su derivado total es limitado?

Question

Es $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ globalmente Lipschitz continua, es decir no existe un $L>0$ tal que

$\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\leq L$ todos los $x,y\in\mathbb{R}^n$,

y $\mathcal{C}^1$ si y sólo si $f$ $\mathcal{C}^1$ y el total de sus derivados es limitada?

Basándose únicamente en la intuición, estoy inclinado a creer que la respuesta es sí. Sin embargo estoy teniendo problemas para subir con una prueba (probablemente porque mi comprensión de cálculo multivariable está lejos de los grandes). Podría alguien dar uno si la afirmación es verdadera, o proporcione un contraejemplo si es falso?

Gracias.

Answer 1

Si $f$$\mathscr{C}^1$,$f(x) - f(y) = \int_0^1 Df(y + t(x-y)).(x-y) dt$, por el teorema fundamental del cálculo.

Por lo tanto, $$\begin{aligned} \| f(x) - f(y) \| &\le& &\int_0^1 \|Df(y+t(x-y)).(x-y) \| dt& \\ &\le& &\left( \int_0^1 \| Df( y + t(x-y) )\| dt \right) \| x-y \|& \le \sup_{z \in \mathbb{R}^n} \, \|Df(z) \| \; \| x-y \| \end{aligned}$$

Si $\sup_{z \in \mathbb{R}^n} \, \| Df(z) \| = C$ es finito, obtenemos $\| f(x) - f(y) \| \le C \|x - y \|$ todos los $x,y$.

Recíprocamente, supongamos que su función es $\mathscr{C}^1$ y que es globalmente Lipschitz con constante $C$.

Entonces, para todos los $x \in \mathbb{R}^n$, y todos los $h \in \mathbb{R}^n$, sabemos que $$Df(x).h = \lim_{t \to 0} \frac{f(x+th) - f(x)}{t}$$

Pero, por supuesto, $\| f(x +th) - f(x) \| \le C \|th \| = C |t| \|h\|$, y finalmente llegamos $\|Df(x).h \| \le C \|h \|$ todos los $h$, que por definición implica la $\| Df(x) \| \le C$. De ahí que el total de derivados está delimitado por todo $\mathbb{R}^n$.

Todo esto funciona también en un conjunto abierto de $\mathbb{R}^n$, en lugar de todo el espacio.

Remarcar también que no es necesario asumir la $f$$\mathscr{C}^1$, pero sólo diferenciables. La segunda parte de mi prueba funciona igual de bien, y para la primera parte, en vez de aplicar el teorema fundamental del cálculo, puede utilizar el valor medio teorema.