Dejado A y B dos matrices de Plaza real (distinto de cero) de ser y suponer que rank(AB) = rank(BA) para toda matriz B. ¿Uno puede probar que A es inversible? lo contrario es cierto y una cuestión de álgebra linear simple, pero estoy atrapado en este.
Respuestas
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Si $A$ no es inversible, existe un vector distinto de cero $u$ en el espacio nulo de $A$. También, puesto que asumes $A \neq 0$, es un vector distinto de cero $v$ en el espacio de la columna de $A$. Utilizar estas observaciones para construir una matriz de una fila $B$ tal que $AB = 0$ y $BA \neq 0$.
Blaise
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Vamos a construir la matriz de #% de %#% a lo largo de las líneas de Mike F. En la imagen de $B$ tenemos un vector distinto de cero $A$ que tiene un distinto de cero % antecedente $v$así que $w$. En componentes definimos $v=A w$. Esta matriz es distinto de cero. Multiplicación izquierda $B_{ij}=u_i w_j$ da 0 porque es el núcleo de $A$ $u$. Si hacemos la multiplicación derecha $A$ encontramos una matriz que es $A$ que es distinto de cero. Estrictamente hablando es una transposición al ocuparse de la materia de derecho. ¡Excelente! Gracias.
