¿En lo que localmente compactos grupos abelianos $\mathbb{Q}$ incrustar densamente?

Question

Sé que no es la clasificación de los campos de la región, pero aquí está estrechamente relacionada con la pregunta: ¿Puede el grupo aditivo de $\mathbb{Q}$ ser un adecuado densa subgrupo de un localmente compacto abelian grupo, cuya topología es completa, otros que el p adic números o los reales? Creo que de más esta cuestión como una colección, y supongo que voy a tener que probar varios ejemplos aquí.

1.Por ejemplo Mate: Considere el $\alpha =(\alpha_1, \dots, \alpha_n) \in \mathbb{R}^n$ linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$, entonces el mapa de $q \mapsto q \alpha:= ( q \alpha_1, \dots, q \alpha_n)$ se vuelve denso en el $n$ toro, es decir,$\mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n$, en realidad, es más, se convierte en equidistributed en el siguiente sentido $$\frac{1}{N}\sum\limits_{n \leq N} f(n \alpha) \rightarrow \int\limits_{\mathbb{R^N} / \mathbb{Z}^n} f( x) \mathrm{d} x.$$

Answer 1

Esto sin duda puede ser incrustado densamente en muchos de esos grupos. E. g. puede ser incorporado en $(S^1)^n$ cualquier $n$. (Aquí se $S^1$ es el círculo de grupo.)

Para ver esto, elija un elemento $\alpha$ $(S^1)^n$ cuyos poderes son densos en $(S^1)^n$.

Ahora para inductivamente, para cada entero $m$, elija $\alpha_m$ tal que $\alpha_m^m = \alpha$, en forma compatible (es decir, de modo que si $m' = d m,$ a continuación,$\alpha_{m'}^d = \alpha_m$). A continuación, el $\alpha_m$ generar una copia de $\mathbb Q$ dentro $(S^1)^n$, que va a ser densa.

(Un poco más de succintly, estoy usando el hecho de que $(S^1)^n$ es divisible, por lo tanto inyectiva, para extender la incrustación $\mathbb Z \hookrightarrow (S^1)^n$ para una incrustación $\mathbb Q \hookrightarrow (S^1)^n$.)

Otra forma de pensar acerca de este ejemplo, cuando se $n = 2$ decir, es que debemos tener una línea con irracional de pendiente en $(S^1)^2$; esto da una densa copia de $\mathbb R$, que contiene en su interior una densa copia de $\mathbb Q$.