Sea $\mathcal C$ una categoría y supongamos que tiene todos los productos finitos. Quiero mostrar que existe un funtor $- \times - \colon \mathcal C \times \mathcal C \to \mathcal C$ que envía $(A,B)$ al producto $A \times B$ (como parte de demostrar que $\mathcal C$ es una categoría monoidal). Sin embargo, posiblemente hay muchas opciones de productos de $A$ y $B$, por lo que supongo que la única forma en que tiene sentido es elegir una estructura de producto $A \times B$ para cada par $(A, B)$. ¿Pero se me permite hacer esto con el axioma de elección? Seguramente es posible que haya una gran cantidad de objetos sobre los que tengo que elegir una estructura de producto (por ejemplo, uno para cada conjunto, y por lo tanto tener que elegir una estructura de producto para cada elemento en una clase propia)?
Obviamente esta pregunta se generalizará a otras nociones como elegir un producto tensorial específico, etc. Gracias por cualquier ayuda.
