Extensión no estándar de una función con un límite

Question

Pregunta 1. Deje $g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ $g(y) = \lim_{x \to \infty} f(x,y)$ donde $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}$. Es correcto que la extensión no estándar $^*g$ tienen $x \in \mathbb{R}$ en lugar de $x \in \mathbb{^*R}$? Así $$^*g(y) = [\langle \lim_{x \to \infty} f(x,y_1), \lim_{x \to \infty} f(x,y_2), \ldots \rangle] ?$$

Pregunta 2. Supongamos que quiero hacerles $x$ ser estándar y tomar el "no estándar" límite, decir $\lim^*$$x \to \infty$. Es decir, quiero algo como $h : \mathbb{^*R} \to \mathbb{^*C}$ con $$h(y) = \underset{x \to \infty}{\mathrm{lim^*}}\,^*f(x,y),$$ donde $^*f : \mathbb{(^*R)}^2 \to \mathbb{^*C}$. Hacer que las personas hacen esto? ¿Cómo se $\lim^*$ trabajo? Es la imperfección de la hyperreals problemático? Si esto tiene una respuesta larga, de referencia está bien. He encontrado que es imposible buscar precisamente para información sobre esta.

Pregunta 3. Es $h$ diferente de la $^*g'(x,y)$ donde $$g'(x,y) = \lim_{x \to \infty} f(x,y)?$$ Intuitivamente, parece $h \neq \,^*g = \,^*g'$ porque $^*g'$ no es realmente una función de $x$, pero mi concentración se mantiene de morir antes de que pueda ver la estructura claramente.

Answer 1

EDIT: Debido a la aparente confusión, he reescrito mi respuesta.

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Este es un trabajo para la transferencia de principio! La idea básica es que cada norma objeto y la noción de estándar de análisis se puede traducir perfectamente a la no-modelo estándar.

En particular, el estándar de la noción de límite se aplica igualmente a la no-estándar modelo: simplemente por la aplicación de la *-traslado a la ordinaria de la noción de límite, se obtiene un operador

$$ \lim_{x \to a} f(x) $$

donde $f$ es un (interna) de la función y $a$ es un hyperreal, y la variable ficticia $x$ rangos de hyperreals cerca de $a$.

De nuevo por la transferencia de principio, este operador, incluso está de acuerdo con la costumbre $\epsilon$-$\delta$ definición (con todo lo que varían con los hyperreals en lugar de reales). Aunque este hecho es menos útil: uno no suele utilizar $\epsilon$-$\delta$ argumentos para demostrar cosas acerca de la no-estándar de los límites de la no-funciones estándar: una vez se demuestra que las cosas acerca de los límites estándar de funciones estándar y, a continuación, las transferencias de los resultados a la no-modelo estándar.

Por supuesto, esto sólo se aplica a los internos de las declaraciones. Los externos no transferencia: por ejemplo, la propiedad de que

$$ \lim_{x \to 0} f(x) = \text{st}(f(\epsilon)) $$

para distinto de cero infinitesimal $\epsilon$ puede esperarse que se mantenga al $f(x)$ es una función estándar.

La imperfección de la hyperreals no es un problema aquí, ya que es un exterior hecho. El hyperreals, de hecho, satisfacer la versión interna de la integridad axioma -- por ejemplo, cada limitada (interno) subconjunto de la hyperreal números tiene al menos un límite superior. Usted sólo tiene que tener cuidado al trabajar con objetos internos. por ejemplo, $\mathbb{N}$ $\mathbb{R}$ son externos subconjuntos de a ${}^\star \mathbb{R}$, por lo que no es de extrañar que no tiene menos límites superior. De hecho, esto se refiere a la recepción de principio-por ejemplo, cualquier subconjunto de a ${}^\star \mathbb{R}$ que contiene todos los de $\mathbb{R}$ también debe contener un infinito hyperreal.

Límites en el infinito o la convergencia hacia el infinito, como

$$ \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$$

también la transferencia. Como de costumbre, se puede trabajar con el ad-hoc definiciones de los límites dados por clases introductorias, o uno puede transferir el extendido de los números reales. El último arroja una interesante conceptual de hecho, el infinito hyperreals no están "más allá de $+\infty$": el estándar extendida número real $+\infty$ es aún más grande que todos los hyperreal número. Que infintie hyperreals simplemente más cerca de a $+\infty$ que cualquier número de norma, en un sentido muy similar al hecho de que infintiesimals están más cerca de a $0$ que cualquier valor distinto de cero número de norma.

En cuanto a tu primera pregunta, estás en lo correcto. En la representación del valor de ${}^\star g(y)$ como una secuencia de números reales, cada componente es de hecho un límite estándar: en particular, el límite estándar que define a $g(y_i)$.

Answer 2

Como se explica en el comentario anterior, no me queda claro en su notación en la Q1, pero creo que la respuesta general es que el $x$ es una característica de cierta forma particular de escribir una definición de g, pero no es una propiedad de g. Las propiedades de g* depende sólo de g a sí mismo, no en la forma en la que g definición fue escrito.

Como un general filosófica cosa, de la NSA, que se entiende como un "regreso al futuro", en la que pretendemos que el epsilons y deltas nunca fueron inventados, y volver a usar infinitesimals en una manera similar a la forma en que fueron utilizados en los siglos 18 y 19. Desde el punto entero es la de deshacerse de los límites, hay poca motivación para la introducción de algo como lim*. Cuando llegas a algo que en el análisis estándar podría ser descrito como un límite, el estilo de la NSA es pensar en él como un proceso en el que tirar de información, a menudo tomando el estándar de la parte de algo. Por ejemplo, $\lim_{x\rightarrow\infty}(1/x)=0$ es expresado como $st(1/x)=0$ $x$ infinito. Tomando la parte estándar, nos tiramos a la información acerca de los infinitesimales valor de $1/x$. El hecho de que $\lim_{x\rightarrow\infty}\sin x$ es indefinido se expresa diciendo que $\sin x$ no puede ser determinado simplemente por saber que $x$ es infinito. En otras palabras, se deshace de la información acerca de que el valor infinito $x$ implica la incapacidad para encontrar el valor de $\sin x$.

Creo que tu pregunta se reduce a uno acerca de cómo expresar la noninterchangeability de los límites de la NSA. He aquí un ejemplo de WP artículo sobre intercambio de límites: $a_{mn}=2^{m-n}$ donde $m$ $n$ son enteros, y esto hace una diferencia que uno deja enfoque infinito primera. En la NSA, la función de $a$ tiene una contraparte $*a$ definido en la hyperintegers. Para expresar la idea de que el orden de los límites de la materia, se acaba de decir lo siguiente. Deje $m$ $n$ ser positivo, infinito hyperintegers, pero vamos a ninguna otra información. Específicamente, no tenemos la información acerca de si $m>n$, $m<n$, o $m=n$. Entonces no podemos determinar si $*a$ es finito o infinito.