¿Cómo puedo calcular un ángulo diedro a partir de unas coordenadas cartesianas?

Question

Tengo el $(x, y, z)$ coordenadas de cuatro puntos en el espacio (átomos). ¿Cómo puedo calcular el ángulo diedro ( $\phi$ en las siguientes imágenes de WP)?

Estoy algo confuso con las matemáticas, y estoy intentando implementar alguna función para esto en Python, así que se agradecería un nivel de programador más bajo.

Answer 1

Parece que aún no se ha dado una respuesta completa. Aquí está lo que creo que es la solución más directa y numéricamente estable, expresada de una manera que es fácil de implementar. Se solapa mucho con las respuestas de Vhailor y Jyrki, así que la he marcado como wiki comunitaria.

1. Dadas las coordenadas de los cuatro puntos, obtener los vectores $b_1$ , $b_2$ y $b_3$ por sustracción de vectores.

2. Permítanme utilizar la notación no estándar $\langle v \rangle$ para indicar $v/\lVert v \rVert$ el vector unitario en la dirección del vector $v$ . Calcula $n_1 = \langle b_1 \times b_2 \rangle$ y $n_2 = \langle b_2 \times b_3 \rangle$ los vectores normales a los planos que contienen $b_1$ y $b_2$ y $b_2$ y $b_3$ respectivamente. El ángulo que buscamos es el mismo que el ángulo entre $n_1$ y $n_2$ .

3. Los tres vectores $n_1$ , $\langle b_2 \rangle$ y $m_1 := n_1 \times \langle b_2 \rangle$ forman un marco ortonormal. Calcula las coordenadas de $n_2$ en este marco: $x = n_1 \cdot n_2$ y $y = m_1 \cdot n_2$ . (No es necesario calcular $\langle b_2 \rangle \cdot n_2$ ya que debería ser siempre cero).

4. El ángulo diedro, con el signo correcto, es $\operatorname{atan2}(y,x)$ .

(La razón por la que recomiendo el argumento de dos $\operatorname{atan2}$ a la función tradicional $\cos^{-1}$ en este caso es tanto porque produce naturalmente un ángulo en un rango de $2\pi$ y porque $\cos^{-1}$ está mal condicionada cuando el ángulo es cercano a $0$ o $\pm\pi$ .)

Answer 2

Creo que lo que buscas (si he entendido bien la imagen) es el ángulo entre los planos abarcados por b1,b2 y b2,b3.

Una forma de hacerlo es calcular el ángulo vectorial entre $b_1 \times b_2$ y $b_2 \times b_3$ , donde $\times$ es el producto cruzado de vectores (deberías poder encontrar la fórmula en wikipedia). Puedes calcular este ángulo con varios métodos, como el mencionado por Ross. Dependiendo de si b1 y b3 se encuentran en el plano del segundo dibujo, mi respuesta y la de Ross pueden dar el mismo resultado.

Answer 3

Por favor, corríjame si interpreto mal su pregunta y/o su imagen. Lamentablemente es una posibilidad real. A juzgar por la figura inferior entiendo que quieres el siguiente ángulo. Primero proyectas ortogonalmente los vectores $-\vec{b}_1$ y $\vec{b}_3$ al plano que es ortogonal al vector $\vec{b}_2$ . El ángulo $\phi$ es entonces el ángulo entre estas dos proyecciones. Fíjate en el signo menos. Esto es necesario, porque parece que quieres tener $\phi=\pi$ cuando las dos proyecciones apuntan en la misma dirección.

Si esta es la interpretación correcta, entonces puede proceder como sigue. El mapa de proyección viene dado por la fórmula $$p(\vec{x})=\vec{x}-\frac{\vec{x}\cdot\vec{b}_2}{\vec{b}_2\cdot\vec{b}_2}\vec{b}_2.$$ Entonces se obtiene el coseno del ángulo $\phi$ a partir de la fórmula habitual $$-p(\vec{b}_1)\cdot p(\vec{b}_3)=|p(\vec{b}_1)|\, |p(\vec{b}_3)|\cos\phi.$$ Esto le da $\cos\phi$ y te deja elegir entre dos ángulos: uno en el intervalo $[0,\pi]$ el otro en $[-\pi,0]$ . Necesitamos conocer el signo de $\sin\phi$ para decidir entre los dos. Leí su imagen inferior en la forma en que el vector $\vec{b}_2$ está apuntando lejos de la cámara. Esto determina la orientación. Aprovechamos esta circunstancia para calcular el producto cruzado $$\vec{u}=p(\vec{b}_1)\times p(\vec{b}_3).$$ Entonces el producto interior $\vec{u}\cdot \vec{b}_2$ tiene el mismo signo que $\sin\phi$ --- a no ser que haya cometido un error sistemático :-). Vamos a comprobarlo. Si el ángulo de tu foto está en el intervalo $[0,\pi]$ Entonces puedo girar el pulgar de mi mano derecha a lo largo de $p(-\vec{b}_1)$ el dedo índice a lo largo de $p(\vec{b}_3)$ por lo que el dedo corazón apuntará en la dirección opuesta a $\vec{b}_2$ . Por lo tanto, necesito usar $p(\vec{b}_1)$ frente a su negativo.

Answer 4

Para aclarar una ambigüedad a la, por otra parte, gran respuesta de Rahul, el uso de la notación no estándar para sus vectores unitarios podría dar dos posibles respuestas.

Para el vector ortogonal $n_2 =⟨b_2×b_3⟩$ esto no es el producto cruzado normalizado por sus componentes... $$n_2 = b_2×b_3$$ Tal que... $$⟨n_2⟩=\frac{n_2}{∥n_2∥}$$ Más bien, es el producto cruzado de los vectores normalizados $b_2$ y $b_3$ ... $$n_2 = ⟨b_2⟩×⟨b_3⟩$$

Answer 5

Puedes utilizar el producto punto: $\vec{b_1}\cdot\vec{b3}=|b_1||b_3|\cos \phi$ Así que $\phi=\arccos \frac{\vec{b_1}\cdot\vec{b3}}{|b_1||b_3|}$