Por favor, corríjame si interpreto mal su pregunta y/o su imagen. Lamentablemente es una posibilidad real. A juzgar por la figura inferior entiendo que quieres el siguiente ángulo. Primero proyectas ortogonalmente los vectores -\vec{b}_1 y \vec{b}_3 al plano que es ortogonal al vector \vec{b}_2 . El ángulo \phi es entonces el ángulo entre estas dos proyecciones. Fíjate en el signo menos. Esto es necesario, porque parece que quieres tener \phi=\pi cuando las dos proyecciones apuntan en la misma dirección.
Si esta es la interpretación correcta, entonces puede proceder como sigue. El mapa de proyección viene dado por la fórmula p(\vec{x})=\vec{x}-\frac{\vec{x}\cdot\vec{b}_2}{\vec{b}_2\cdot\vec{b}_2}\vec{b}_2. Entonces se obtiene el coseno del ángulo \phi a partir de la fórmula habitual -p(\vec{b}_1)\cdot p(\vec{b}_3)=|p(\vec{b}_1)|\, |p(\vec{b}_3)|\cos\phi. Esto le da \cos\phi y te deja elegir entre dos ángulos: uno en el intervalo [0,\pi] el otro en [-\pi,0] . Necesitamos conocer el signo de \sin\phi para decidir entre los dos. Leí su imagen inferior en la forma en que el vector \vec{b}_2 está apuntando lejos de la cámara. Esto determina la orientación. Aprovechamos esta circunstancia para calcular el producto cruzado \vec{u}=p(\vec{b}_1)\times p(\vec{b}_3). Entonces el producto interior \vec{u}\cdot \vec{b}_2 tiene el mismo signo que \sin\phi --- a no ser que haya cometido un error sistemático :-). Vamos a comprobarlo. Si el ángulo de tu foto está en el intervalo [0,\pi] Entonces puedo girar el pulgar de mi mano derecha a lo largo de p(-\vec{b}_1) el dedo índice a lo largo de p(\vec{b}_3) por lo que el dedo corazón apuntará en la dirección opuesta a \vec{b}_2 . Por lo tanto, necesito usar p(\vec{b}_1) frente a su negativo.
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En cuanto al nivel que debe tener la respuesta, ¿estás familiarizado con: la suma y la resta de vectores? el producto punto y el producto cruz? el vector normal a un plano?
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Producto de punto recuerdo, cruz un poco menos, aunque fui a leer el artículo sobre él, así que un poco mejor.