Bajo las órdenes de elemento de grupo finito

Question

Que $G$ ser un grupo finito. Suponga que $G$ tiene un Sylow normal $p-$ subgrupo $P$ tal que $|P|=p^2$ $p\neq 2$, $P$ no contiene un elemento de orden $p^2$ donde o equivalente $P$ no es cíclico.

¿Es cierto que si $g \in G$ tiene orden $k$ tal que $\gcd(k,p)=1$ entonces hay un elemento de orden $G$ $kp$? Gracias de antemano.

Answer 1

La alternancia de grupo de grado 4 proporciona un modelo para los contraejemplos para todos los números primos $p$ (y todos los poderes $p^f$, no sólo a $p^2$). En vez de ver la alternancia de grupo que actúa en 4 no estructurados puntos, de pensar, de actuar en el conjunto subyacente de un campo finito. En lugar de ver como todos los posibles", incluso" permutaciones del conjunto, ver como todos los posibles "afín" permutaciones del conjunto.

$$\newcommand{\AGL}{\operatorname{AGL}} G=\AGL(1,K) = \{ f : K \to K : x \mapsto \alpha x + \beta ~\mid~ \alpha,\beta \in K, \alpha \neq 0 \}$$

En el caso de $A_4$, tomamos $K$ orden $4$. El subgrupo $$K_+ = \{ f : K \to K : x \mapsto x + \beta ~\mid~ \beta \in K \}$$is a normal, elementary abelian, Sylow $p$-subgroup of $\AGL(1,K)$ whenever $K$ is a a finite field of characteristic $p$. The subgroup $$K^\times = \{ f : K \to K : x \mapsto \alpha x ~\mid~ \alpha \in K, \alpha \neq 0\}$$ es un subgrupo cíclico de orden $k_0=|K|-1$, relativamente primos a la orden de $K$.

Si $K$ es el elegido para ser un campo de tamaño de $p^2$, $K_+$ es normal, no cíclicos Sylow $p$-subgrupo de $G$ orden $p^2$, e $k$ divide $|G|=kp^2$, pero, por supuesto, $G$ no tiene subgrupos de orden $k_0p$, mucho menos un elemento de orden $k_0p$.

Proposición: Los pedidos de elementos de $G$ son exactamente $\{p\} \cup \{ k : k \text{ divides } k_0 \}$.

Prueba: $K_+$ tiene elementos de orden $p$, y el grupo cíclico $K^\times$ tiene elementos de otros órdenes. Si $g$ orden $kp$ $k$ dividiendo $k_0$, debido a $\gcd(k,p)=1$ podemos escribir $1=uk+vp$, y por lo $g=g^1 = g^{(uk)} g^{(vp)}$ $b=g^{(uk)}$ orden $p$ mientras $a=g^{(vp)}$ orden $k$. Por lo tanto, tenemos un elemento $a$ orden $k$ de los desplazamientos con un elemento $b$ orden $p$. Todos estos elementos $b$ mentira en $K_+$. Escribir $a = (x\mapsto \alpha x + \beta)$$b=(x\mapsto x+\gamma)$. A continuación, uno de los productos de $a$ $b$ $x\mapsto \alpha x + (\beta+\gamma)$ y la otra es $x\mapsto \alpha x + (\beta+\alpha \gamma)$. Para estos dos mapas a ser el mismo, se debe actuar de la misma en $0 \in K$, y, en particular,$\beta+\gamma = \beta+\alpha\gamma$, de modo que $\alpha=1$ o $\gamma=0$. En el primer caso, esto significa $\alpha =1$ $a \in K_+$ tiene el fin de dividir ambos $p$$k_0$, lo $k=1$. En el segundo caso, esto significa $b$ es la identidad, contradiciendo $g$ el fin de tener un múltiplo de $p$. $\square$

Answer 2

La respuesta no es en general. Considerar surte $G$ el producto semi directa de un elemental Grupo abeliano de orden $121$ ${\rm SL}(2,5)$ (hay un fiel tal acción). Cada elemento de $G$ $11$ de la orden o algún divisor de $120.$ hay ningún elemento de orden $11k$ para cualquier $k >1.$