¿Por qué consideramos sólo cuadrática dominios como Euclidiana dominios con squarefree enteros?

Question

He estado leyendo "Introductorio de la teoría algebraica de números" por Alaca y Williams, y en los capítulos que utilizan el cuadrática dominios $\mathbb{Z}+\mathbb{z}(\sqrt{m})$ para los no-cuadrado de $m$ $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\Big(\frac{1+\sqrt{m}}{2}\Big)$ donde $m\equiv1 \mod{4}$ y no cuadrados.

En el capítulo sobre Euclidiana dominios, define y demuestra un número de resultados sobre las normas $\phi_m$ donde $x,y \in \mathbb{Q}, \phi_m(x+y\sqrt{m})=|x^2-my^2|$ donde $m$ es ahora un squarefree entero, y entrar en mucho detalle acerca de las condiciones en que, por ejemplo, $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}(\sqrt{m})$ es un dominio Euclídeo con respecto a esta función, pero sólo para squarefree $m$.

Mi pregunta es: ¿por Qué hacemos esta distinción? Como lo que yo puedo decir, no hay ninguna razón para excluir, por ejemplo, $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}(\sqrt{8})$. $\phi_8$ parece comportarse en todas las maneras en que lo desee y parece ser un candidato para un euclidiana de la función en el dominio. Sé que este es un subdominio de $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}(\sqrt{2})$, pero el libro en sí tiene ejercicios donde se muestra que ciertos subdominios de la norma euclidiana dominios no euclidiana con respecto a cualquier función, por lo que no siempre se pueden hacer observaciones acerca de los subdominios de nuestro conocimiento de los más grandes.

Answer 1

En primer lugar, $\mathbb Q(\sqrt{8})$ es realmente lo mismo que $\mathbb Q(\sqrt{2})$, desde $$\mathbb Q(\sqrt{8})=\{a+b\sqrt{8}\mid a,b\in\mathbb Q\}=\{a+b\cdot 2\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb Q\}=\{a+b'\sqrt{2}\mid a,b'\in\mathbb Q\}=\mathbb Q(\sqrt{2})$$ Así, la fracción de campo de $\mathbb Z[\sqrt{8}]$ es sólo $\mathbb Q(\sqrt{8}) = \mathbb Q(\sqrt{2})$, cuyo anillo de enteros es $\mathbb Z[\sqrt{2}]\neq \mathbb Z[\sqrt{8}]$.

Por lo tanto, $\mathbb Z[\sqrt{8}]$ no es ni siquiera integralmente cerrado, digamos Euclidiana, un PID o un disco flash usb. Lo mismo va para todos los que no squarefree enteros.

Answer 2

La razón de ello es porque $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}(\sqrt{8})$ o, más generalmente, $R=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}(k\sqrt{m})$ $m$ squarefree y $k>1$ no es integralmente cerrado. Esto significa que hay elementos $x$ de la fracción de campo Frac$R=K=\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ que no están en $R$ que satisfacen una ecuación de la forma $$ x^n +a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0=0. $$ para $a_i\in\mathbb{Z}$. En nuestro caso $x=\sqrt{m}$ es un elemento de satisfacciones $x^2-m=0$. Sin embargo, todos los euclidiana dominios están integralmente cerrado como ellos son únicos dominios de factorización.

Añadió prueba de esta realidad: Si $x\in K$ tenemos un primer descomposición $x=\prod_i p_i^{e_i}$ cuando la $e_i$ también puede ser negativo. Supongamos $e_1,\ldots,e_k$ son negativos. Si $x$ integral $R$ $$ x^n = -a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0. $$ Después de multiplicar ambos lados por $(p_1^{e_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{e_k})^n$ el lado izquierdo es en $R$ y no divisible por $p_1$, mientras que el lado derecho está en $R$ y divisible por $p_1$, por lo que tenemos una contradicción. Por lo $x\in R$.