Definamos $A_n = \{x_n - y_n, x_n-y_{n+1}, x_n - y_{n+2}, \ldots\}$ , $B_n = \{x_n - y_n, x_{n+1} - y_{n+1}, x_{n+2} - y_{n+2}, \ldots\}$ . Entonces, lo que queremos demostrar es que $\lim\sup A_n = \lim\sup B_n$ .
Dejemos que $z_n$ sea un elemento de $A_n$ con $z_n \ge \sup A_n - \frac{1}{n}$ . Demostraremos que $\lim_{n \to \infty} z_n \le \lim\sup B_n$ . Supongamos que $z_n = x_n - y_m$ . Entonces, existe un elemento correspondiente $w_n = x_m - y_m$ en $B_n$ . Tenemos que $m \ge n$ por lo que para cada $\epsilon > 0$ haciendo $n$ suficientemente grande podemos garantizar
$$z_n < w_n + \epsilon \le \sup B_n + \epsilon$$
basado en el hecho de que $x_n$ es Cauchy. Como esto es cierto para todos los $\epsilon > 0$ haciendo $n$ suficientemente grande, se deduce que $\lim\limits_{n \to \infty} z_n \le \lim\limits_{n \to \infty} \sup B_n$ . Pero, $\lim_{n\to\infty}z_n = \lim_{n\to\infty}\sup A_n$ Así que $$\lim_{n \to \infty} \sup A_n \le \lim_{n \to \infty} \sup B_n.$$
Utilizando la misma técnica, podemos demostrar igualmente que $\lim\sup B_n \le \lim\sup A_n$ . Por lo tanto, se deduce que $\lim\sup A_n = \lim\sup B_n$ que es exactamente lo que querías mostrar.
Aquí hay una prueba que creo que es ligeramente más fácil. Dejemos que $x = \lim_{x \to \infty} x_n$ . Entonces, para cualquier $\epsilon > 0$ , para $n$ suficientemente grande, tenemos $$x - \epsilon - y_n < x_n - y_n < x + \epsilon - y_n$$ Así que, tomando la $\lim\sup$ , $$x - \epsilon + \lim\sup(-y_n) \le \lim\sup (x_n - y_n) \le x + \epsilon + \lim\sup(-y_n)$$
desde $\epsilon > 0$ era arbitraria, tenemos $$x + \lim\sup (-y_n) \le \lim\sup (x_n - y_n) \le x + \lim\sup(-y_n)$$
Así, utilizando la conocida identidad $\lim\sup (-y_n) = -\lim\inf y_n$ y observando que $x = \lim_{n\to\infty}x_n$ , $$\lim_{n\to\infty}x_n - \lim\inf y_n = \lim\sup(x_n-y_n)$$
0 votos
Dejemos que $A_n = \{ x_n - y_k : k \geqslant n\}$ y $B_n = \{ x_k - y_k : k \geqslant n\}$ . Dejemos que $\varepsilon > 0$ . Demuestre que hay un $n(\varepsilon)$ tal que $\sup A_n \leqslant \varepsilon + \sup B_n$ y $\sup B_n \leqslant \varepsilon + \sup A_n$ para $n \geqslant n(\varepsilon)$ .