El Teorema de Liouville para la Conformación de Mapas de los estados que cada mapa de conformación definida en un dominio en $\mathbb{R}^n$ ($n\geq 3$) es la composición de las traducciones, dilataciones, rotaciones, y las inversiones a través de las esferas. El uso de este teorema, es posible probar que cada conformación automorphism de $H^n$ es un hiperbólico isometría.
Se sigue de esto que $\mathrm{Aut}(H^n)$ es isomorfo al grupo $SO^+(1,n)$ (un indefinido especial ortogonal grupo). Por lo tanto, una manera de mantener un seguimiento de tales automorfismos es el uso de $(n+1)\times(n+1)$ matrices de un cierto tipo. En particular, vamos a $\mathrm{Hyp}$ denotar la hyperboloid $-x_0^2 + x_1^2 + \cdots + x_n^2 = -1$$\mathbb{R}^{n+1}$, y deje $\mathrm{Hyp}^+$ ser la parte de la hyperboloid para que $x_0>0$. A continuación, $SO^+(1,n)$ actúa en $\mathrm{Hyp}^+$ a través de transformaciones lineales. Si se conjuga el mapa de $f\colon \mathrm{Hyp}^+\to H^n$ definido por
$$
f(x_0,x_1,\ldots,x_n) \;=\; \left(\frac{x_2}{x_0+x_1},\ldots,\frac{x_n}{x_0+x_1},\frac{1}{x_0+x_1}\right)
$$
a continuación, se obtiene una acción de $SO^+(1,n)$$H^n$.
Por desgracia, esta descripción no da mucho más geométrica visión, y no está estrechamente relacionada con la mitad superior del espacio -$H^n$. Lo que sigue es más una descripción geométrica de estos automorfismos. No estoy seguro de si es o no es útil, pero es mucho más estrechamente relacionados con los de la mitad superior-espacio modelo. Al menos, le da una buena manera de construir ejemplos de conformación automorfismos de a $H^n$.
Considere la posibilidad de un hiperbólico isometría $\alpha\colon H^n\to H^n$. Como en dimensiones dos y tres, cualquier isometría se extiende a la hiperbólica límite, que es $\mathbb{R}^{n-1}\cup\{\infty\}$. Hay tres casos:
Caso 1: La isometría $\alpha$ corrige $\infty$. En este caso, $\alpha$ debe ser, simplemente, un Euclidiana similitud $H^n\to H^n$. En particular, $\alpha$ tiene la forma
$$
\alpha(\textbf{x},z) = (kA\textbf{x}+\textbf{b},kz)
$$
para todos los $(\textbf{x},z) \in\mathbb{R}^{n-1}\times(0,\infty)$ donde $k$ es un número real positivo, $\textbf{b}\in\mathbb{R}^{n-1}$, e $A\in SO(n-1)$. (Tenga en cuenta que cualquier mapa de este formulario es de hecho una de conformación automorphism de $H^n$.)
Caso 2: La isometría $\alpha$ mapas el origen a $\infty$. En este caso, vamos a $\rho\colon H^n\to H^n$ ser el mapa
$$
\rho(\textbf{x},z)=\frac{1}{\|\textbf{x}\|^2 + z^2}(B\textbf{x},z)
$$
donde $B$ es una cierta orientación de la inversión del elemento de $O(n-1)$, por ejemplo, la negación de la primera coordenada. (El mapa de $\rho$ es esencialmente la composición de la inversión a través de la unidad de la esfera con el reflejo de $B$.) A continuación, $\rho$ es un automorphism de $H^n$ que se asigna el origen a $\infty$, e $\alpha$ puede ser expresado como $\beta\circ \rho$ donde $\beta$ es algunos automorphism de $H^n$ que corrige $\infty$ (véase el caso 1).
Caso 3: La isometría $\alpha$ mapas de algunas otras límite de punto de $(\textbf{p},0)$$\infty$. En este caso, vamos a $\tau$ ser la traducción de $\tau(\textbf{x},z) = (\textbf{x}-\textbf{p},z)$. A continuación, $\alpha$ puede ser escrito como $\beta\circ\tau$ donde $\beta$ es un automorphism de $H^n$ que se asigna el origen a $\infty$.
Conlusion: Todos los automorfismos de conformación de $H^n$ es un Euclidiana similitud de la transformación, o se puede expresar de manera única como la composición de una traducción de $\tau$, el mapa de $\rho$, y un Euclidiana similitud de transformación.
