Cómo hacer módulos,espacios vectoriales, álgebras,campos,anillos, grupos, relacionan el uno al otro?

Question

Módulos, espacios vectoriales, álgebras, campos, anillos, grupos...

¿Cómo estas básica algebraica de los objetos se relacionan entre sí a través de tensor de productos?

Es allí una manera de ir de un objeto a su generalización a través de un tensor de la construcción del producto?

Creo que esta es una pregunta interesante...pero no puedo encontrar muchos recursos sobre el tema.

Por ejemplo, he visto a gente usar la frase "tensoring'.

Su respuesta debe describir cómo el tensor de productos que se utilizan para relacionar algebraica de los objetos? (Estoy básicamente buscando trucos del oficio que cada matemático debe saber acerca de este)

Answer 1

Para tomar un rumbo diferente de Qiaochu la gran respuesta, vamos a echar un vistazo a estos objetos desde el punto de vista de Álgebra General.

Todos estos objetos son "álgebras de" en el sentido del Álgebra General: son un conjunto $S$, junto con una familia de finitary operaciones en $S$ (un finitary operación $S$ es un mapa de $S^n\to S$ donde $n$ es un entero no negativo), junto con un conjunto de identidades que están satisfechos.

Por ejemplo, un semigroup es un álgebra de tipo $(2)$ (lo que significa que tiene una única operación binaria), $(S,\cdot)$, sujeto a la identidad de $(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)$ (usando la notación de infijo). Un monoid es un álgebra de tipo $(2,0)$, $(M,\cdot,e)$, (un "nullary" operación $M$ es un mapa de $\{\varnothing\}\to M$, por lo que corresponde a un distinguido elemento de $M$), sujeto a las identidades $(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)$, $a\cdot e = a$, y $e\cdot a = a$. Un grupo es un álgebra de tipo $(2,1,0)$ (unario operación es la operación que asigna a cada elemento a su inverso), sujeto a ciertas identidades. Agregar la identidad $a\cdot b = b\cdot a$ y se obtiene abelian grupos. Un anillo es un álgebra de tipo $(2,2,1,0)$ (adición, multiplicación, inversos aditivos, aditivo cero); un anillo con unidad sería $(2,2,1,0,0)$.

Un espacio vectorial sobre $F$ es un álgebra de que, además del binario, unario, y nullary operaciones que determinan su estructura aditiva como un grupo abelian, tiene una única operación para cada elemento de a $F$, que corresponde a la multiplicación escalar. Los axiomas de un espacio vectorial se traducen en las identidades. $R$-los módulos se definen de manera similar, con una única operación para cada elemento de la $R$. $K$-álgebras son definidas como espacios vectoriales, pero tienen un extra de operación binaria (el producto en el área de álgebra).

Advertencia. No todos los estándar de estructura puede ser descrito como un álgebra general. Por ejemplo, los campos no puede ser descrito como un álgebra general en este camino, porque el inverso multiplicativo no es una función en la totalidad el campo: es indefinido en $0$. Hay una generalización de la llamada "Parcial Álgebras", que permiten "parcialmente definido por las operaciones", pero su teoría es mucho más complicado.

Ahora, considere la relación entre semigroups y grupos. Si nos fijamos en un grupo, $(G,\cdot, ^{-1}, e)$, luego por el "olvido" de la operación $^{-1}$ $e$ y todas las identidades que se imponen en las operaciones, se obtiene una estructura que cumple con todos los requisitos para ser un semigroup: tenemos un conjunto, $G$, una operación binaria $\cdot$, y la operación es asociativa. Que es: cada grupo puede ser considerado un semigroup por el "olvido" de parte de su estructura. Asimismo, cada grupo abelian puede ser considerada como un grupo de "olvidar" que se requiere la identidad de $ab=ba$ a ser satisfecho. Cada anillo puede ser considerada como un grupo abelian por el "olvido" sobre la multiplicación. Cada espacio vectorial sobre $F$ pueden ser consideradas como un grupo abelian por el "olvido" acerca de la multiplicación escalar. Cada $F$-álgebra puede ser considerado como un $F$-espacio vectorial en el olvido de la multiplicación de los elementos del álgebra. Etc.

Todo esto puede ser hecho preciso con la noción de un olvidadizo functor. La idea es no formal, así que no puedo definir directamente, pero parafraseando a la Justicia Potter Stewart, "usted sabe que cuando lo vea". El más común de los olvidadizos functor es el "conjunto subyacente functor", que asigna un álgebra a su conjunto subyacente. (La categoría de conjuntos puede ser visto como una categoría de álgebras, en el que la colección de actuación es vacía).

Una cosa buena acerca de olvidadizo functors entre las categorías de álgebras es que ellos siempre han dejado adjoints. Si $\mathbf{U}\colon \mathcal{A}\to\mathcal{B}$ es olvidadizo functor entre las categorías de álgebras, entonces existe un functor $\mathbf{F}\colon \mathcal{B}\to\mathcal{A}$ tal que para todos los objetos de $A\in\mathcal{A}$$B\in\mathcal{B}$, $$\mathrm{Hom}_{\mathcal{B}}(B,\mathbf{U}(A)) \cong \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\mathbf{F}(B),A).$$ En esta situación, $\mathbf{F}$ se dice que es de izquierda adjunto de $\mathbf{U}$ (observe que se produce en la entrada izquierda de la $\mathrm{Hom}$).

Por ejemplo, el olvido de la función de $\mathsf{Group}$ $\mathsf{Set}$tiene el "grupo" functor de $\mathsf{Set}$ $\mathsf{Group}$adjunto: hay un natural de una correspondencia uno a uno entre el conjunto de la teoría de los mapas de entre un conjunto $X$ y el conjunto subyacente de un grupo de $A$, y el grupo de homomorphisms entre el grupo libre en $X$ y el grupo de $A$. Otro ejemplo: el olvido functor $\mathbf{U}\colon\mathsf{AbGroup}\to \mathsf{Group}$ tiene el adjoint $\mathbf{F}\colon \mathsf{Group}\to\mathsf{AbGroup}$ que envía cada grupo $G$ a su abelianization.

Ahora, supongamos que el $F$ $K$ son los campos, $F\subseteq K$. Si se consideran las categorías $F$-$\mathsf{VecSpace}$ y $K$-$\mathsf{VecSpaces}$, hay una natural olvidadizo functor de la última a la primera: sólo se "olvidan" cómo multiplicar por escalares que no están en $F$. ¿Cuál es el adjunto de este olvidadizo functor? Es el producto tensor! Dado un $F$-espacio vectorial $V$ $K$- espacio vectorial $W$, tenemos (el uso de $\mathrm{Lin}_F$ para denotar la colección de $F$-lineal mapas), $$\mathrm{Lin}_F(V,U(W)) \cong \mathrm{Lin}_K(V\otimes_FK,W).$$ Por lo que el medico adjunto del conjunto subyacente functor es el producto tensor con $K$. Este es el mismo de la construcción por módulos, donde un homomorphism $f\colon A\to B$ nos permite definir un olvidadizo functor de $B$-$\mathsf{Mod}$ a $A$-$\mathsf{Mod}$ por dar un $B$-módulo de $M$ $A$- estructura del módulo $a\cdot m = f(a)m$.

Así que uno puede ver tensor de productos como un caso particular del fenómeno de el medico adjunto olvidadizo functor, y así generalizar en esa dirección. (Aunque hay otras funciones que el producto tensor desempeña; por ejemplo, entre conmutativa anillos, visto como $\mathbb{Z}$-álgebras, el producto tensor es el subproducto de dos objetos). Personalmente, yo diría que este es el concepto correspondiente a "tensoring" en la configuración general.

---

Como siempre: si desea una introducción al Álgebra General, particularmente a partir de la categoría de punto de vista, recomiendo George Bergman es Una invitación a Álgebra General y Universal de Construcciones, disponible en su sitio web como archivos PDF. Hay una discusión de olvidadizo functors en el Capítulo 6, y de functor adjunto pares en el Capítulo 7.

Answer 2

Primero vamos a hablar sobre el producto tensor de módulos. Deje $R$ ser un anillo, vamos a $M$ derecho $R$-módulo, y deje $N$ ser una izquierda $R$-módulo. Entonces su producto tensor $M \otimes_R N$ es un grupo abelian que es universal con respecto a bilineal mapas, es decir, los mapas de $\alpha : M \times N \to Z$ donde $Z$ es un grupo abelian la satisfacción de $$\alpha(m + n, -) = \alpha(m, -) + \alpha(n, -)$$ $$\alpha(-, m + n) = \alpha(-, m) + \alpha(-, n)$$ $$\alpha(mr, n) = \alpha(m, rn), r \in R.$$

Puede ser concretamente se describe como el cociente de la libre abelian grupo formal de símbolos $m \otimes n, m \in M, n \in N$ por relaciones procedentes de los requisitos anteriores. El producto tensor es un functor (de hecho, un aditivo functor) en ambos de sus argumentos, y por consiguiente se puede hacer para heredar extra estructura. Por ejemplo, si $M$ es también una izquierda $S$-módulo de e $N$ es también un derecho $T$-módulo para los anillos de $S, T$, $M \otimes_R N$ canónicamente hereda la estructura de una $(S, T)$-bimodule.

Si $R$ es conmutativa, entonces no hay distinción entre izquierda y derecha de los módulos, por lo $M$ es también una izquierda $R$-módulo de e $N$ es también un derecho $R$-módulo. En consecuencia, el producto tensor es un $(R, R)$-bimodule, pero la izquierda y a la derecha las acciones son las mismas, por lo que el producto tensor de dos $R$-módulos es una $R$-módulo. Por otra parte $M \otimes_R N \cong N \otimes_R M$ canónicamente; la canónica mapa es el único que envía a $m \otimes n$$n \otimes m$.

Un caso especial de esta construcción se utiliza con frecuencia sin comentarios. Si $\phi : R \to S$ es arbitraria anillo homomorphism, a continuación, $\phi$ equipa $S$ con la estructura de una $(R, S)$-bimodule (a la izquierda de la multiplicación de los elementos de la forma $\phi(r)$ determina la izquierda de la estructura y a la derecha de la multiplicación de los elementos de $S$ se determina el derecho de la estructura). En consecuencia, el producto tensor $$M \otimes_R S$$

hereda la estructura de un derecho $S$-módulo. Esto define un functor $- \otimes_R S : \text{Mod-}R \to \text{Mod-}S$ llama extensión de escalares. La extensión de escalares generaliza tanto la inducción de las representaciones en el grupo de teoría de la representación y de la complejización de real de espacios vectoriales. Es la forma universal para equipar $M$ con la estructura de una $S$-módulo de un modo compatible con su actual $R$-estructura del módulo (donde $\phi$ determina lo que esta compatibilidad de medios; es suprimida en la notación, porque se entiende en el contexto, por ejemplo, generalmente es obvio inclusión).

---

Ahora vamos a $R$ ser conmutativa. Una $R$-álgebra, en el sentido general, es un $R$-módulo de $A$ junto con un $R$-bilineal multiplicación $A \times A \to A$, o, equivalentemente, por la característica universal de un mapa de $A \otimes_R A \to A$ $R$- módulos. Nosotros no podemos hacer suposiciones adicionales sobre este mapa: puede ser asociativo o puede ser una Mentira soporte o lo que sea. Si $A$ $B$ dos $R$-álgebras, a continuación, en el producto tensor $A \otimes_R B$ podemos definir un $R$-bilineal multiplicación por definir $$(a_1 \otimes b_1)(a_2 \otimes b_2) = a_1 a_2 \otimes b_1 b_2$$

y se extiende por la linealidad. Más invariante forma de decir esto es que podemos aplicar la conmutatividad, la asociatividad, y functoriality del producto tensor, en primer lugar definir un mapa $$B \otimes_R (A \otimes_R A) \otimes_R B \to B \otimes_R A \otimes_R B$$

el uso de la multiplicación en $A$, y la segunda para definir un mapa $$A \otimes_R (B \otimes_R B) \to A \otimes_R B$$

el uso de la multiplicación en $B$, para luego componer los dos para obtener un mapa $$(A \otimes_R B) \otimes_R (A \otimes_R B) \to A \otimes_R B.$$

Esta es una definición general del producto tensor de álgebras. Si el multiplicaciones en $A$ $B$ satisfacer propiedades adicionales, entonces también lo hace la multiplicación en $A \otimes_R B$:

• Si $A$ $B$ son tanto asociativa, entonces también lo es $A \otimes_R B$.
• Si $A$ $B$ son tanto unital con unidades de $1_A, 1_B$, entonces también lo es $A \otimes_R B$ con una unidad de $1_A \otimes 1_B$.
• Si $B$ es tanto asociativa y conmutativa, entonces creo $A \otimes_R B$ hereda las propiedades (en el sentido de niza identidades satisfecho por la multiplicación) que $A$ hace, y es también una $B$-álgebra. Esta es otra versión de la extensión de escalares. Por ejemplo, si $A$ es una Mentira álgebra$R$, $A \otimes_R B$ es una Mentira álgebra $B$; esto puede ser usado para definir la complejización de una real Mentira álgebra.

---

Creo que cuide el tensor de las relaciones entre los módulos, espacios vectoriales (módulos a través de un campo), álgebras, campos (justo especial conmutativa de los anillos), y los anillos (álgebra de operadores sobre $\mathbb{Z}$). Grupos realmente no entrar en la imagen, excepto en la medida en que abelian grupos se $\mathbb{Z}$-módulos.