Encontrar el Límite de Anidado/Logaritmo Continuo

Question

Para una secuencia $a_n$ definido por: $$a_1 = \ln(1)$$ $$a_2 = \ln\left(\frac{1}{\ln(2)}+1\right)$$ $$\dots, a_n = \ln\left(\frac{1}{\ln(\frac{1}{\ln(\dots 1/\ln(n ))}+1)}+1 \right)$$ with $$ n logaritmos.

Puede alguien ofrecer una solución o sugerencia para el límite: $$\lim_{n\to\infty}a_n$$

Gracias por su amabilidad!

Nota: Mis intentos iniciales involucrados simplificación de a $a_n = ln\left( 1/a_n + 1 \right)$ pero no estaba seguro de dónde ir de allí (por no mencionar, me di cuenta de que esto es una especie de trampa si queríamos encontrar el límite puramente analítica, ya que la verificación de que el límite converge fue hecho a través de la representación gráfica).

Otra nota: Como Mc Cheng ya se señaló, el límite no converge a algún número, pero también me di cuenta de que si vamos a sustituir el $n$ en la secuencia con otra variable $x$, entonces el límite de aumento de los valores de $a_n$ $x \to \infty$ parecen flip-flop entre ser una aproximación y sobre-aproximación (por ejemplo, $\lim_{x\to\infty} a_4 < \lim_{n\to\infty}a_n,$ pero $\lim_{x\to\infty} a_5 > \lim_{n\to\infty} a_n$), y las aproximaciones (obviamente) acercarse al valor real de $\lim_{n\to\infty} a_n$, así que me pregunto si la secuencia puede ser convertido en una corriente alterna de la serie?

Answer 1

A partir de tu comentario se expresa de la siguiente manera

$$ a_{n+1} = \ln \left( \frac{1}{a_n} + 1 \right) $$

A continuación, indicar el límite de $a_n$ $\gamma$ al $n \to \infty$. Por definición se deduce que $\lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1}$ por lo tanto.

$$ \gamma = \ln\left(\frac{1}{\gamma} + 1\right) $$

Lo que da

$$ \gamma_1 = 0.80646599423632680877... $$

$$ \gamma_2 = -1.3499764854011254426... $$

Pero $\gamma_2$ no es válida, por tanto, $\gamma_1$ es el límite.

Answer 2

Como se ha dado en Olba12 la respuesta, no hay ninguna forma cerrada para la solución de la ecuación de $$\gamma = \ln\left(\frac{1}{\gamma} + 1\right)$$ (he comprobado con inversa simbólico calculadoras) y métodos numéricos son necesarios.

Teniendo en cuenta $$f(\gamma)=\gamma - \ln\left(\frac{1}{\gamma} + 1\right)$$ $$f'(\gamma)=1+\frac{1}{\gamma (\gamma +1)}$$ and using (as the simplest) Newton method with $\gamma_0=1$, la siguiente iteración se generan $$\left( \begin{array}{cc} n & \gamma_n \\ 1 & 0.795431453706630 \\ 2 & 0.806420981004432 \\ 3 & 0.806465993496711 \\ 4 & 0.806465994236327 \end{array} \right)$$