Yo creo que el siguiente es un contraejemplo a tu conjetura.
Con el fin de construir el Knaster-Kuratowski ventilador, dejamos $C\subseteq[0,1]$ ser el estándar del conjunto de Cantor y, para cada una de las $c\in C$, vamos a $L(c)$ ser el segmento de$(c,0)$$(\frac12,\frac12)$. Definimos $$X_c =\{(x,y)\in L(c)\mid y\in\mathbb Q\}$$ if $c\in C$ is an endpoint of one of the intervals at some finite stage of the construction of $C$ and $$X_c =\{(x,y)\in L(c)\mid y\notin\mathbb Q\}$$ for all other $c\in C$. Then, the Knaster-Kuratowski fan is defined as $$X=\bigcup_{c\in C}X_c.$$ Now, define a linear map $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ by $f(x,y)=(\frac{x-y}2,\frac{x+y}2)$ and let $$Y=f(X).$$ This is just a smaller (and rotated) copy of the Knaster-Kuratowski fan, based on the segment from $(0,0)$ to $(\frac12,\frac12)$ and with apex $(0,\frac12)$.
Para construir nuestro contraejemplo, vamos a $X'=X\setminus\{(\frac12,\frac12)\}$$Y'=Y\setminus\{(\frac12,\frac12),(0,\frac12)\}$. Utilizaremos también las anotaciones $X_c'=X_c\setminus\{(\frac12,\frac12)\}$, $Y_c=f(X_c)$ y $Y_c'=Y_c\setminus\{(\frac12,\frac12),(0,\frac12)\}$. Nuestro contraejemplo es proporcionada por $$Z=X'\cup Y'.$$
La reclamación. El espacio de $Z$ está totalmente desconectado.
Prueba. Supongamos $Q$ está conectado a un componente de $Z$. Si $Q$ intersecta $X_c$ algunos $c>0$, $Q\subseteq X_c$ por el argumento habitual (construir una separación mediante una línea a través de $(\frac12,\frac12)$) y $Q$ debe ser un singleton. De lo contrario, tenemos $Q\subseteq Y'\cup X_0'$. En este caso, se observa que la $Q$ debe estar contenida en un segmento de $S(x)$ con extremos de $(0,\frac12)$ $(x,x)$ para algunos $x\in[0,1]$: $C\cup(\mathbb Q\cap[0,1])$ es totalmente desconectada, lo que nos permite separar dos puntos en $Y'\cup X_0'$ acostado en distintos segmentos de $S(x_1)$ $S(x_2)$ por una línea a través de $(0,\frac12)$. De nuevo, esto implica que $Q$ es un singleton. $\square$
A continuación, tenemos un lema.
Lema. Supongamos $X\subseteq Y$, e $Q\subseteq X$ $R\subseteq Y$ son quasicomponents tal que $Q\cap R\neq\emptyset$. A continuación,$Q\subseteq R$.
Prueba. Deje $q\in Q\cap R$. A continuación, $Q$ es la intersección $\cap_{\lambda}U_\lambda$ de todos los clopen pone en $X$ contiene $q$. Si $V$ es un clopen conjunto en $Y$ contiene $q$, $V\cap X$ es clopen en $X$ y, por tanto, $V\cap X\supseteq U_\lambda$ algunos $\lambda$. Por lo tanto, la interesection de todos los conjuntos de $V$ contiene $\cap_{\lambda}U_\lambda = Q$. $\square$
La reclamación. El conjunto $Y'\cup X_0'$ es un quasicomponent de $Z$.
Prueba. Primero de todo, $Y'\cup X_0'$ es la intersección de clopen conjuntos de $Y'\cup\bigcup\limits_{c\in C_n}X_c'$ donde $C_n=C\cap[0,\frac1{3^n}]$. Queda por demostrar que si un clopen set $U$ intersecta $Y'\cup X_0'$,$Y'\cup X_0'\subseteq U$. Observar que si $U$ intersecta $Y_c'$, $Y_c'\subseteq U$ por el lema, ya que $Y_c'$ es un quasicomponent en $Y'$. Del mismo modo, si $U$ intersecta $X_0'$, $X_0'\subseteq U$ por el lema, ya que $X_0'$ es un quasicomponent en $X'$.
Ahora, supongamos $U$ intersecta $(Y'\cup X_0')\setminus Y_1'$. A continuación, $U$ contiene un segmento de la forma $Y_c'$ o $X_0'$, por lo que contiene un punto de la forma $(x,x)$ algunos $x\in[0,1]$. Desde $U$ está abierto, también contiene un barrio de $(x,x)$ y por lo tanto se cruza con $X_0'$. Por lo $X_0'\subseteq U$. Pero $U$ también está cerrado, por lo que contiene el cierre de $X_0'$,$(X_0'\cup f(C))\setminus\{(\frac12,\frac12)\}$. Esto a su vez se cruza con cada una de las $Y_c'$ $c<1$ $Y_c'\subseteq U$ todos los $c<1$. Por eso, $(Y'\cup X_0')\setminus Y_1'\subseteq U$. Pero desde $U$ está cerrada, se contiene también el cierre de este conjunto, es decir,$Y'\cup X_0'\subseteq U$.
Por último, si $U$ intersecta $Y_1'$, también debe contener algún elemento de $(Y'\cup X_0')\setminus Y_1'$ ya está abierto. Podemos de nuevo a la conclusión de que $Y'\cup X_0'\subseteq U$. Esto completa la prueba. $\square$
Por lo tanto, $Z$ está totalmente desconectado de espacio sin puntos aislados cuya quasicomponent $Y'\cup X_0'$ tiene interior no vacío.
