Una forma más fácil de calcular el determinante de esta matriz

Question

Tengo que calcular el determinante de esta matriz: $$ \begin{pmatrix} a&b&c&d\\b&c&d&a\\c&d&a&b\\d&a&b&c \end{pmatrix} $$ ¿Existe una forma más fácil de calcular esto en lugar de la larga forma regular?

Answer 1

Puede transformar fácilmente su matriz en una matriz circulante $$ M=\left(\begin{array}{cccc} a&b&c&d\\ d&a&b&c\\ c&d&a&b\\ b&c&d&a \end{array}\right) $$ realizando intercambios de filas evidentes. La teoría de los valores propios de las matrices circulantes es completamente conocida. En la $4\times 4$ los valores propios de $M$ son $$ \lambda_1=a+b+c+d,\ \lambda_2=a+bi-c-di,\ \lambda_3=a-b+c-d\ \text{and}\ \lambda_4=a-bi-c+di. $$ El determinante de una matriz es el producto de sus valores propios por lo que $$ \det M=\lambda_1\lambda_2\lambda_3\lambda_4. $$

Answer 2

La solución de un peatón (la sugerencia de experimentX debajo de la pregunta).

Añade las tres primeras columnas a la cuarta: \begin{align*} \begin{vmatrix} a&b&c&d\\b&c&d&a\\c&d&a&b\\d&a&b&c \end{vmatrix} & =(a+b+c+d) \begin{vmatrix} a&b&c&1\\b&c&d&1\\c&d&a&1\\d&a&b&1 \end{vmatrix} \fin{align*} Resta la segunda fila de la primera fila, la tercera fila de la segunda fila y la cuarta fila de la tercera fila; desarrolla después de la cuarta columna:

\begin{align*} &=(a+b+c+d) \begin{vmatrix} a-b&b-c&c-d \\ b-c&c-d&d-a \\ c-d&d-a&a-b \end{vmatrix} \\ \fin{align*}

Añade la primera columna a la tercera:

\begin{align*} &=(a+b+c+d)(a-b+c-d) \begin{vmatrix} a-b&b-c&1 \\ b-c&c-d&-1 \\ c-d&d-a&1 \end{vmatrix} |align*} Añade la segunda fila a la primera y la tercera a la segunda: \begin{align*} &=(a+b+c+d)(a-b+c-d) \begin{vmatrix} a-c&b-d&0 \\ b-d&c-a&0 \\ c-d&d-a&1 \end{vmatrix} \\ &=-(a+b+c+d)(a-b+c-d)[(a-c)^2+(b-d)^2]. |end{align*}