Suma de una serie (cálculo)

Question

Soy un cálculo TA un poco confundido en una pregunta de que un estudiante me ha planteado.

Qué es el método para encontrar la suma de la serie $$\sum_{n=0}^\infty\frac{1+n}{3^n}$ $ si divide el numerador, uno se convierte en una suma de serie geométrica 3/2, y las otras sumas a 3/4 por Wolfram Alpha, pero no puedo explicarlo.

Answer 1

El uso de la habitual serie geométrica, tiene

$$\frac{x}{1-x} = \sum_{n=1}^{\infty} x^n $$ diferenciado de obtener

$$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$$ mus

$$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}$$

De modo que su suma es justo

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n} = \frac{1/3}{(1-1/3)^2} = \frac{3}{4}$$

Answer 2

Michael, en general, existe un truco que puede ser muy útil.

Creo que de $xD$ como un operador en funciones diferenciables $p(x)$ que "se diferencia y se multiplica por $x$". Entonces los polinomios en $xD$ son también operadores de funciones diferenciables, si uno la interpreta poderes de $xD$ por la composición. Por ejemplo, si $f(x)=2x^{2}+3$ $f(xD)$ que se aplica a una función derivable p(x) da $2xD(xD(p(x)))+3p(x)$. (Creo que de 3 a medida que el operador "multiplicación por 3". )

Ahora usted debe verificar las siguientes muy útiles hecho:

El operador $p(xD)$ aplicado plazo por plazo a la potencia de la serie $\sum_{n}a_{n}x^{n}$ da el poder de la serie de $\sum_{n}p(n)a_{n}x^{n}$.

En particular, la serie tiene la forma $\sum f(n)x^{n}$ evaluado en $x=1/3$ donde $f(n)=n+1$. Así que para calcular la suma, se aplican $1+xD$ a la función $1/(1-x)=1+x+x^{2}+\ldots$ y, a continuación, evaluar en $x=1/3$.

Creo que esto lo aprendí de Polya y Szego "Problemas y Teoremas en el Análisis", que es absolutamente de peluche con matemáticos de la sabiduría.

Answer 3

Creo que las otras respuestas acerca de la diferenciación y tales son mucho más limpio, pero pensé que me gustaría añadir que hay una aún más elemental forma de hacer la suma:

$$ S = \sum_{k=1}^{\infty} k b^{-k} $$

mediante el uso de la norma truco de multiplicar por $b^{-1}$ restando:

$$ b^{-1} S = \sum_{k=2}^{\infty} (k-1) b^{-k} $$

$$ S - b^{-1} S = S (1 - b^{-1}) = \sum_{k=1}^{\infty} b^{-k} $$

Answer 4

Considerar para $|x| < 1$

$$\sum_{n=1}^\infty x^n = \frac{x}{1-x} .$$

Diferenciar y establecer $x=1/3.$