¿Las formas diferenciales hacen que el material infinitesimal sea riguroso?

Question

En primer lugar, sé que los infinitesimales no están bien definidos en el análisis estándar y no tienen rigurosamente nada que ver con las formas diferenciales. Mi duda es sobre la intuición entre una relación que parece existir: parece que las formas diferenciales convierten la idea de infinitesimal ampliamente utilizada por los Físicos en algo riguroso.

¿Por qué lo digo? Bueno, voy a exponer algunos de los puntos que he notado.

1. El diferencial total. En lenguaje clásico, dado $f : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ podemos considerar el cambio infinitesimal $df$ cuando nos movemos desde un punto $(x^1,\dots,x^n)$ a un punto vecino $(x^1+dx^1,\dots,x^n+dx^n)$ como ser $$df = \sum_{i} \dfrac{\partial f}{\partial x^i}(x) dx^i$$ en formas diferenciales tenemos $df$ la derivada exterior que da los cambios en $f$ cuando le damos vectores. Así que $df$ y $dx^i$ se convirtieron en "objetos de medición" en cierto sentido.

2. Integración a lo largo de las curvas. En lenguaje clásico, si se da una curva parametrizada con $x = x(t)$ , $y=y(t)$ y $z=z(t)$ entonces calculamos la integral de un campo vectorial $F$ de la siguiente manera: consideramos $dl = (dx,dy,dz)$ un desplazamiento infinitesimal y hacer el cálculo $$\int_\Gamma F\cdot dl = \int_\Gamma F^1dx+F^2dy+F^3 dz = \int_a^b F^1 x'(t)dt+F^2y'(t)dt+F^3z'(t)dt$$ Obviamente, esto está relacionado con el retroceso. Teniendo en cuenta $\gamma$ la parametrización y $F$ una forma única, entonces $$\gamma^\ast F = \gamma^\ast\left(\sum F_i dx^i\right)= \sum_i F_i\circ \gamma d(x^i\circ \gamma)=(\sum_i F_i\circ \gamma )(\gamma^i)'dt$$ y la integral es la misma que antes si definimos $\int_\gamma F = \int_a^b \gamma^\ast F$

3. Una forma diferencial escoge una $k$ mapa multilineal alterno en cada espacio tangente. En ese caso, sabemos que podemos representar esos objetos mediante dos $(n-k)$ planos en el espacio tangente. Intuitivamente, podemos escoger sólo pequeños trozos de esos planos, y así en un punto, una forma diferencial podría pensarse intuitivamente como un infinitesimal $(n-k)$ pedazo de avión.

Teniendo en cuenta todo eso parece que las formas diferenciales existen realmente para hacer rigurosas las cosas con infinitesimales. Pero, ¿cuál es la intuición de esta conexión entre las formas diferenciales y los infinitesimales?

Answer 1

En mi opinión, muchas de estas relaciones están sugeridas por una anotación abusiva, abusos que ocultan lo que realmente ocurre.

No me malinterpreten: algunos abusos de la notación son inofensivos o, al menos, ayudan a la gente a ponerse a hacer cálculos. Pero aún así deben ser comprendidos en su justa medida por aquellos que desean ir más allá de la mera realización de cálculos.

Pondré un ejemplo: considera la relación,

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$

Probablemente sepa que los diferenciales no deberían dividirse realmente, que esta notación es en realidad sólo sugestiva, y aunque lo que dice es cierto por el teorema de la función inversa, lo hace de una manera vudú que no resiste una inspección más cercana, planteando más preguntas que respuestas.

Por supuesto, hay una forma totalmente razonable de expresar esta noción: como he dicho, es el teorema de la función inversa. Dada una función $f$ en un vector $x$ tenemos el jacobiano $J_f$ y sabemos que

$$J_{f^{-1},f(x)} = J_{f,x}^{-1}$$

Lo cual es una afirmación totalmente rigurosa, aunque tal vez menos útil.

(Quizá piense que el análisis no estándar podría ser útil en este caso. Tal vez lo sea, pero mi punto es un poco más amplio: para entender y sentirse cómodo con el enunciado, tienes que dar por sentado que representa otra cosa, o aceptar que necesitas más matemáticas para entenderlo tal y como está escrito).

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Entonces, ¿cómo se relaciona esto con los diferenciales y las formas diferenciales?

Bueno, sobre todo mediante el uso de $d$ para denotar la derivada exterior. El cambio de este símbolo revela lo manifiestamente disparatadas que son algunas relaciones aparentes.

A efectos de esta respuesta, denotaré la derivada exterior por $\nabla$ . Esto es razonablemente familiar para los estudiantes de cálculo vectorial en 3d, y la mayoría de los resultados se pueden utilizar directamente desde allí.

Abordemos su punto (1), el diferencial total. Se escribiría como,

$$\nabla f = (\partial_i f) \nabla x^i$$

De nuevo, reconociendo la conexión entre la derivada exterior y el gradiente del cálculo vectorial, deberías darte cuenta de que la $\nabla x^i$ no son más que un conjunto de vectores base (más exactamente, covectores base), y lo único que hace es descomponer el gradiente de $f$ en algunas direcciones de coordenadas. Aquí no hay una conexión explícita entre el gradiente y los diferenciales.

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Hablemos del punto (2), las integrales alrededor de las curvas.

Esta es una idea errónea muy común entre las personas que trabajan con formas diferenciales. Señalaré que la cantidad $r'(t) = (x', y', z')(t)$ es manifiestamente una vector tangente . Apunta literalmente tangente a la curva que es el dominio de la integración, y fundamentalmente, obedece a leyes de transformación muy diferentes a las de cualquier forma.

Además, si $F$ es una forma única, entonces debe escribirse

$$F = F_x \nabla x + F_y \nabla y + F_z \nabla z$$

Si todos los supuestos $dx$ vienen del formulario, entonces lo que viene del $dl$ ? Como se ha argumentado anteriormente, lo que viene con $dl$ no es un conjunto de formas base sino un vector el vector tangente a la curva. Escribiendo este vector $\ell'(t) = x' \partial_x r + y' \partial_y r + z' \partial_z r$ (donde $r$ es un vector), obtenemos para el producto punto

$$\int F \cdot dl = \int (F_x \circ l)(t) x'(t) \nabla x \cdot \partial_x r + \ldots \, dt$$

Por supuesto, $\nabla x \cdot \partial_x r = 1$ por definición; de lo contrario, las formas base no serían duales a los vectores base. ¿Qué pasaría si escribiéramos las formas de base con la habitual $dx$ ¿anotación?

$$\int F \cdot dl = \int (F_x \circ l)(t) x'(t) dx(\partial_x r) + \ldots \, dt$$

A primera vista, esto parece un galimatías. Incluso si usted tiene la presencia de ánimo para distinguir entre una forma de base $dx$ y un diferencial que denota la variable de integración $dt$ En este sentido, sería un reto conciliar la coexistencia de estas dos nociones en la misma integralidad. Sé que he conocido a una persona en este mismo sitio que sugirió que nadie debería trabajar con $dx$ y similares porque de todos modos vas a retroceder, así que sólo $dt$ debe considerarse como una forma diferencial en esta curva. Esa es... ciertamente una manera de ver las cosas. Para mí, eso tiene el alto precio de no poder ver las cosas geométricamente. Permítanme explicar:

¿Qué haces cuando retiras un formulario en una integral como ésta? Estás haciendo que el vector tangente en el espacio objetivo tenga dirección y magnitud constantes (ya que estás retrocediendo a un espacio vectorial 1d, la imagen del vector tangente es sólo el vector unitario trivial). Esto es lo que se hace comúnmente para las integrales de forma, porque entonces toda su complejidad está en la forma, y en el Jacobiano que transforma esa forma, en lugar de considerar los componentes del vector tangente. Por esta razón, el vector tangente a veces se olvida o se desprecia, ya que una vez que has retrocedido, es algún vector constante trivial que simplemente será comido por la forma de todos modos. Lo único que queda por hacer es establecer alguna convención sobre la dirección que debe tener: positiva o negativa.

De todos modos, se podría llamar a una forma de base en ese espacio por su nombre, y tal vez algunas personas lo llamarían $dt$ . Si esa forma abstracta de pensar te funciona, haz lo que consideres mejor.

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Por último, hablemos del punto (3): se trata más bien de una cuestión de interpretación geométrica, y no es exclusiva de las formas diferenciales. ¿Debe verse un campo vectorial como pequeñas líneas dirigidas en cada punto? Ciertamente, esto está detrás de la noción de líneas de campo, que se utilizan habitualmente para los campos eléctricos. No estoy seguro de poder decir que uno (los vectores) es más diferencial que el otro (las formas). Ambos implican orientaciones y magnitudes. Al final, tengo que ofrecer la misma perspectiva que ofrecería para los vectores: ¿tiene sentido pensar en un vector como un pequeño trozo de una línea? Si es así, ¿cómo decidiría que los diferenciales están asociados a las formas en lugar de a los vectores? Si no es así, ¿en qué se diferencia de lo que has hecho con las formas?

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No voy a divagar demasiado. Hay una razón por la que la notación de las formas diferenciales ha perdurado tanto tiempo: es enormemente sugerente, y para tratar conceptos desconocidos, la notación sugerente es poderosa. Pero al igual que con el teorema de la función inversa, sostengo que esa notación es meramente sugestiva, llena de atajos y juegos de manos. No creo que las formas diferenciales conviertan a los infinitesimales en algo riguroso, ni mucho menos, sino que creo que la notación sugiere una relación mucho más fuerte entre las formas y estas diferenciales en las integrales de formas que no deberían serlo.

Answer 2

Dices que los infinitesimales no son rigurosos, pero de hecho hay sistemas alternativos en los que los deferenciales son realmente números (pero no reales). En él existen tanto los números infinitos como los infinitesimales con perfecto rigor, y hay un teorema fundamental que permite trasladar la mayoría de las afirmaciones sobre los números reales a los hiperreales.