Dependencia espaciotemporal aparente de los operadores de creación y aniquilación

Question

Actualmente estoy revisando Introducción a la teoría cuántica de campos de Hartmut Wittig con la que he tropezado. Teniendo problemas con la ecuación (2.29), me hago la pregunta:

¿Los operadores de creación y aniquilación ( $\hat a^\dagger(k)$ y $\hat a(k)$ ) dependen del espaciotiempo?

Al principio, parece que no deberían, porque la dependencia del tiempo se está poniendo en $e^{ik\cdot x}$ y $e^{-ik\cdot x}$ sin embargo, tras utilizar las relaciones de conmutación \begin{split} [\hat p^\mu,\hat a^\dagger(k)]=k^\mu \hat a^\dagger(k)\\ [\hat p^\mu,\hat a(k)]=-k^\mu \hat a(k) \end{split} y la ecuación de Heisenberg generalizada \begin{equation} \frac{\partial}{\partial x^\mu}\hat A = i[\hat p^\mu,\hat A] \end{equation} parece que sí dependen del espaciotiempo.

En la ecuación (2.29), en la primera línea se aplicó la derivación, mientras que en la segunda línea se aplicó la ecuación generalizada de Heisenberg. Parece que en la primera línea la constancia de $\hat a^\dagger(k)$ y $\hat a(k)$ mientras que en la segunda línea parece que se utilizó $x_\mu$ (sin sombrero) y $\hat p_\nu$ conmutación (tampoco entiendo por qué es así, porque $\hat p_\mu$ es esencialmente $\frac{\partial}{\partial x^\mu}$ hasta cierto factor).

Entonces, ¿son $\hat a^\dagger(k)$ y $\hat a(k)$ ¿Constante? Si lo son, ¿cómo conciliar esto con la aparente contradicción con las relaciones de conmutación con $\hat p_\mu$ ? Si no lo son, ¿cuál es la forma correcta de la ecuación (2.29)?

Answer 1

En el formalismo hamiltoniano, operadores como $a(k)$ y $a^{\dagger}(k)$ pueden depender del tiempo (en la imagen de Heisenberg), o no (en la imagen de Schroedinger).

No dependen del espacio en el sentido de que se dan para cualquier 3-momento $k$ . Pero existe una transformada de Fourier $\tilde{a}(x)$ y $\tilde{a}^{\dagger}(x)$ que se da para cualquier punto espacial $x$ . Así que estás confundiendo los operadores reales de creación-aniquilación y sus imágenes de Fourier.

Para no volver a confundirnos, pensemos que la relación de Heisenberg generalizada sólo es aplicable a los operadores dependientes del espacio.

Answer 2

Decir que una teoría tiene simetría de Poincare, significa que para cada transformación de Poincare $(\Lambda,a)$ existe una unidad $U(\Lambda,a)$ actuando sobre el espacio de Hilbert. Bajo algunos supuestos existen generadores $P^\mu$ (centrándonos en la parte traslacional) tal que

$$ U(1,a) = \exp(-i a_\mu P^\mu ) \ . $$

Ahora el operador de creación $a_k^\dagger$ crea una partícula en una representación unitaria y, por tanto, satisface la relación de conmutación (para bosones)

$$ [ P^\mu, a_k^\dagger ] = k^\mu a_k^\dagger \ . $$

Nótese que hasta ahora no se mencionan las coordenadas espacio-temporales, por lo que i.p. no podemos tomar ninguna derivada. Esto cambia al introducir la noción de campo: se trata de una combinación lineal de operadores de creación y aniquilación, todos los cuales se transforman en una representación unitaria de dimensión infinita $U$ tal que el campo se transforma como un tensor en una representación de dimensión finita $S$ :

$$ U(\Lambda,a) \psi(x) U(\Lambda,a)^{-1} = S(\Lambda,a) \psi(\Lambda^{-1} x - a) \ .$$

A partir de ahí puedes derivar tu ecuación de Heisenberg

$$ [P^\mu ,\psi(x) ] = \frac{\partial \psi}{\partial x^\mu}(x) \ .$$

Esta relación se basa en la hipótesis de que $\psi(x)$ fuera un campo, es decir, que se transformara en una representación de dimensión finita del grupo de Poincare. Esto no es cierto para los operadores de creación y aniquilación $a_k$ por lo que la ecuación no se cumple.