Demuestra la desigualdad: $\frac{a}{c+a-b}+\frac{b}{a+b-c}+\frac{c}{b+c-a}\ge{3}$

Question

Demuestra la desigualdad:

$\frac{a}{c+a-b}+\frac{b}{a+b-c}+\frac{c}{b+c-a}\ge{3}$

Dónde $a,b,c$ son lados de un triángulo.

Está claro que $c+a-b$ es positivo, pero ¿cómo utilizarlo?

Answer 1

$$a+b-c=x>0$$ $$c+a-b=y>0$$ $$b+c-a=z>0$$ La desigualdad original se convierte en $$\frac{x+y}{2y}+\frac{x+z}{2x}+\frac{y+z}{2z}\geq 3$$ $$\frac{x}{2y}+\frac{z}{2x}+\frac{y}{2z}\geq \frac{3}{2}$$ que es trivial por la desigualdad AM-GM

Answer 2

Una pista:

utilice esta sustitución $$a=y+z,\quad b=x+z,\quad c=x+y$$