Una Partición de $[0, 1)$

Question

Considere la posibilidad de una secuencia de disjuntos no vacíos intervalos $[\ell_{n}, r_{n}) \subseteq [0, 1)$, $n \in \mathbb{N}$, tal que $$\sum_{n = 1}^{\infty} (r_{n} - \ell_{n}) = 1,\qquad 0 < r_{n + 1} - \ell_{n + 1} \leq r_{n} - \ell_{n} < 1. $$ Mi pregunta es, necesita el conjunto $$A=[0, 1) \setminus \bigcup_{n \in \mathbb{N}} [\ell_{n}, r_{n})$$ be countable? All constructions I've been able to come up with are such that $Un$ is countable. Obviously, $Un$ has Lebesgue measure $0$, but that does not imply that $Una$ es contable.

Answer 1

SUGERENCIA: No, porque puede ser obtenido como una pequeña modificación del conjunto de Cantor de la construcción.

Answer 2

Considere la posibilidad de $l_n=0$ $r_n=1/(2^n)$ $\sum_1^\infty r_n=1$ pero $[0,1]\setminus \sum_1^ \infty [l_n,r_n)=[1/2,1)$ que es incontable.Por favor, compruebe