Hallar la suma en forma cerrada $$\sum_{k=0}^{n}\arctan{\dfrac{k^4+6k^3+10k^2-k-9}{(k+1)(k+2)(k+3)(k^3+7k^2+15k+8)}}$$
Para los problemas que implican sumas, la idea es utilizar las identidades trigonométricas para escribir la suma en la forma $$\sum_{k=1}^{n}[g(k)-g(k-1)]$$ y en un principio consideré emparejar cada dos términos para utilizar el $arctanx+arctany $ pero no funciona porque cada término de arctanarctan tiene un coeficiente diferente.
Al establecer $f(k)=3+(7+2i)k+(5+i)k^2+k^3$ que estamos tratando:
$$ \sum_{k=1}^{n}\text{arg}\left(f(k)\;\overline{f(k+1)}\right) =\text{arg }f(1)-\text{arg }f(n+1).\tag{1}$$ Para notar esto, he tomado en cuenta $(k+1)(k+2)(k+3)(k^3+7k^2+15k+8)+i(k^4+6k^3+10k^2-k-9)$ obteniendo..: $$\left(3+(7+2 i) k+(5+i) k^2+k^3\right) \left((16-3 i)+(20-4 i) k+(8-i) k^2+k^3\right)\tag{2}$$ y comprobó que $(2)$ tiene el $f(k)\,\overline{f(k+1)}$ estructura.
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Los primeros valores de $n=0,1,\dots$ de $\tan\left(\sum_{k=0}^n \arctan(\dots)\right)$ son -3/16, -8/45, -5/32, -24/175, -35/288, -16/147, -63/640, -80/891, -33/400, -120/1573...
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$\arctan f(k)-\arctan f(k+1)$ es también un término telescópico, que equivale a $\arctan\frac{f(k)-f(k+1)}{1+f(k)\,f(k+1)}$ . ¿Puedes escribir una fracción tan horrible como $\frac{f(k)-f(k+1)}{1+f(k)\,f(k+1)}$ ?
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También puede considerar que el denominador más $i$ por los factores del numerador como $$\left(3+(7+2 i) k+(5+i) k^2+k^3\right) \left((16-3 i)+(20-4 i) k+(8-i) k^2+k^3\right)$$
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Es decir, como $f(k)\;\overline{f(k+1)}$ .