Un mes para la geometría de nivel de Olimpiada.

Question

En un mes, estaré escribiendo una segunda ronda de una Olimpiada matemática.

Mi mayor preocupación es la geometría. Aunque creo que me va bastante bien en teoría de números, álgebra, combinatoria, etc., todavía no puedo decir que realmente entendí la geometría olímpica (y no siempre se pueden utilizar estrategias de "bash"). Obviamente, siempre hay problemas que se pueden resolver y otros que no, independientemente del entrenamiento, pero mi pregunta es:

¿Cuáles son los mejores libros/conjuntos de ejercicios/artículos, que podría estudiar y obtener un mayor dominio de la geometría de nivel de Olimpiada un mes antes de la competencia?

Es decir, un mes completo, $30$ días, sin clases ni otras actividades.

Debo decir, preferiría aquellos que no utilicen notaciones excesivamente sofisticadas y no entren en teoremas súper avanzados que se utilizan una vez o nunca. Y soy consciente de que un mes no es realmente mucho tiempo y esta pregunta puede parecer un poco como: "rápido, ¿qué debo aprender para ganar una Olimpiada?". No lo digo en ese sentido. Solo estoy preguntando: ¿qué estudiar de geometría olímpica para obtener el mayor beneficio mientras estoy totalmente comprometido?

EDIT: Me gustaría abordar algunos comentarios sobre tomar la Olimpiada demasiado en serio. Aunque estoy de acuerdo en gran medida con este razonamiento y aprecio su preocupación, me gustaría aclarar: no es que vaya a estar trabajando $\frac{24}{7}$ solo en matemáticas. Me gustaría trabajar con los mejores recursos disponibles y, por lo tanto, no perder mi tiempo en ejercicios que no beneficien mucho a mis habilidades en geometría.

Answer 1

Para una actualización adecuada durante un período de un mes, te sugeriría que:

• "Geometría Euclidiana en las Olimpiadas Matemáticas" de Evan Chen: este es un libro de resolución de problemas enfocado en geometría euclidiana, adecuado y específicamente escrito como preparación para las olimpiadas matemáticas;

• "Problemas en Geometría Plana" de Igor F. Sharygin: tiene varios problemas "no estándar" con niveles crecientes de dificultad, por lo que es útil entender algunos problemas de geometría plana que rara vez se describen en libros estándar, como qué construcciones adicionales se pueden hacer, qué "caminos alternativos" se pueden usar para llegar a la solución, y así sucesivamente;

• "Geometría Libre" de Kiran S. Kedlaya, un papel muy bueno estructurado en forma de un libro de texto, que comienza desde los rudimentos y llega a las áreas más modernas de la geometría, incluyendo la inversión y geometría proyectiva;

• por último, un libro completo es "Problemas en geometría plana y sólida" de Viktor Prasolov (ya citado en uno de los comentarios), un extenso texto de 600 páginas con miles de problemas y soluciones detalladas que cubren todas las áreas de geometría plana y sólida.

Answer 2

Estoy apoyando el comentario de Wolfram, No deberías tomarte la Olimpiada de Matemáticas demasiado en serio. Tómate esto como diversión/relajación. Te sugeriría los siguientes libros (Por favor, lee todo el post) -

• Geometry Revisited por Coxeter & S.L. Greitzer. Este libro es impresdincible. Deberías haberlo completado al menos. Este contiene las bases de los problemas de nivel olímpico.
• 103 Trigonometry Problems from USA Math Camp por Titu Andrescu. Este es igualmente imprescindible. Todos los libros del Campamento de Matemáticas de EE.UU son realmente geniales, es decir 101 Problems in Algebra, 102 Combinatorial Problems, 103 Trigonometry Problems from USA Math Camp, 104 Number Theory Problems, todos por Titu Andrescu. Debes echar un vistazo a estos libros, ya que la geometría no es todo en las Olimpiadas de Matemáticas. En nuestro país estamos seguros de que si alguien completa estos 4 libros, no tiene que preocuparse por las Nacionales.
• Problems in Plane and Solid Geometry por Viktor Parasolov. Este libro cubre todos los aspectos de la geometría plana y sólida. El libro tiene 495 páginas, solo con problemas. Entonces, no creo que puedas cubrirlo en solo 30 días. Pero deberías resolver al menos del capítulo 1 al 5. Con esto, tu idea sobre los teoremas se volverá muy clara. Y las soluciones de este libro son realmente geniales.
• Geometry Unbound por Kiran S. Kedlaya. Por último esto. Este libro está especialmente escrito para los estudiantes que se preparan para la IMO. Deberías tocar este libro después de leer los libros anteriores que sugerí. Los entrenadores de nuestro país dijeron que si puedes resolver al menos el 35% de este libro, nadie podrá vencerte y arrebatarte tu lugar en el Equipo IMO.

La geometría no es todo en la Olimpiada de Matemáticas. Casi todos los entrenadores dicen que puede que no resuelvas Álgebra, puede que no resuelvas Combinatoria o un problema de teoría de números, Pero deberías ser capaz de resolver el de Geometría.
Aquí hay libros de resolcuón que deberías intentar, para obtener un mejor lugar en la Olimpiada-

• Number Theory Structures, Examples, and Problems también por Titu Andrescu. Creo que es el mejor libro de Teoría de Números que he visto. Cubre todos los aspectos de Teoría de Números. También está escrito principalmente para los estudiantes que se preparan para la IMO.
• Principles and Techniques in Combinatorics, esto cubre muchas cosas desde principiante hasta avanzado. Pero creo que 103 Problemas Combinatorios serán suficientes, si tienes conocimiento previo.
• Functional Equations también por Titu Andrescu. Todo lo que necesitas sobre Ecuaciones Funcionales.
• Elementary Number Theory por David M. Burton. Contiene la mayoría de los teoremas que necesitas. Pero prefiero más el libro de Titu Andrescu. Si tienes tiempo, puedes echarle un vistazo a esto después del libro de Titu. Entonces solo necesitarás ver los ejercicios.

Como no tienes mucho tiempo, aquí está mi sugerencia en qué orden deberías leer los libros -

• Un cuarto de los problemas en la Olimpiada serán de Geometría. No es buena idea pasar todo el tiempo en Geometría. Creo que deberías leer los 4 libros del Campamento de Matemáticas de EE.UU. Cada uno de ellos necesitará 3 días si te esfuerzas al máximo. Un libro puede tomar cerca de 3 días o 4. Deberías poder leer todas las teorías de cada uno de estos libros en 12 horas, luego 24 horas para resolver los problemas Introductorios, y luego 36 horas para resolver los problemas Avanzados. Entonces, aquí se irán cerca de 14 días.
• Después de esto, necesitas ver en qué lado eres débil. Luego lee libros sobre ese lado en estos 4 días. Ahora cada 4 días necesitas cubrir un tema completo. Dedica más tiempo a donde eres débil y menos tiempo a donde eres fuerte.
• Si ves que eres débil en geometría. Entonces primero lee el libro de Viktor Parasolov. No espero que puedas cubrir esto ni siquiera en 6 meses. Intenta esforzarte al máximo. Para una segunda ronda, no necesitarás todo. Intenta resolver 5 capítulos.
• Debes ver el libro de Teoría de Números de Titu Andrescu. Es el Director de MOP, Entrenador Principal del Equipo IMO de EE.UU y Presidente de la USAMO. Su libro también es genial. Pero necesitas resolverlos todos. Solo mira las técnicas utilizadas en el libro, el enfoque para resolver Problemas de TN. Deberías tomar este libro después de haber cubierto todo en los otros lados. Y prueba este libro hasta el final.
• Como soy un programador de concursos, no necesité mucha Combinatoria. Siempre me parecieron fáciles. Creo que esto es fácil para todos. No deberías dedicar más de 2 días a esto.
• No espero que después de todo esto tengas tiempo. Pero si lo tienes. Mira Geometry Unbound. Intenta resolver al menos el 10%. Si no puedes resolver un problema, no necesitas quedarte atascado en ese problema. Simplemente continúa con el siguiente.

Nota: Deberías ver más y más SOLUCIONES incluso si los resuelves. Necesitas ver las técnicas. Ver soluciones tiene un efecto negativo pero no creo que sea así en esta área. Resuelvas o no el problema, mira la solución / técnica.

¡Buena suerte! ¡Deseo que tengas la oportunidad de entrar en el Equipo IMO :)

P.D: Ignora mi mal inglés. No soy responsable si los enlaces que proporcioné violan alguna ley de derechos de autor. Como simplemente busqué en Google y di el primer enlace que apareció.