$(x+y)^p = x^p + y^p$ mantiene en cualquier campo de la característica $p$. Sin embargo, todas las pruebas a las que me han visto el uso de la inducción y algunos relativamente desagradable álgebra a pesar de lo fundamental de este hecho parece.
¿Cuál es el mejor, "más alto nivel" a prueba de ti sabes?
El coeficiente binomial $\binom p i$ es divisible por $p$ $1 \leq i \leq p-1$
Una manera de ver esto es de Legendre de la fórmula de la potencia de un primer dividir algunos factorial, http://www.cut-the-knot.org/blue/LegendresTheorem.shtml
y http://en.wikipedia.org/wiki/Factorial#Number_theory
A partir de la fórmula, $p$ divide $p!$ con exponente exactamente $1,$ pero $p$ no divide $i!$ o $(p-i)!$ al $1 \leq i \leq p-1.$
Deje $F$ ser un campo de característica $p$. Deje $f = (1 + x)^p \in F[x]$. Queremos mostrar que $f = 1 + x^p$.
Tomar la formal derivado: $f' = p(x+1)^{p-1} = 0$
Ahora sabemos que $f$ tiene el grado $p$, y su derivada es $0$, lo $f$ debe ser en la forma $A + Bx^p$ con $A$, $B \in F$.
$f(0) = 1$ $A = 1$.
Un producto de monic polinomios es siempre monic lo $B = 1$.
Q. E. D.
El "primer sueño" es un corolario de este hecho.
El hecho de que el coeficiente binomial $\binom p i$ es divisible por $p$ $1 \leq i \leq p-1$ es también un corolario.
El teorema del binomio de sí mismo puede ser demostrado mediante la toma de derivados de $(1 + x)^n$.
Fermat poco teorema fácilmente de la siguiente manera: $\left( \sum_{i=1}^n 1 \right)^p = \sum_{r=1}^n (1^p) = \sum_{r=1}^n 1$
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