$fg\in L^1$ para todos los $g\in L^q$ $\Longrightarrow f\in L^p$

Question

Deje $(X,\mathscr{M},\mu)$ $\sigma$- finito medir el espacio y $f$ $\mathscr{M}$medible de la función. Deje $p,q$ ser Hölder conjugados de la otra, donde las $1\leq p\leq\infty$. Entonces, ¿es verdad que

$fg\in L^1$ para todos los $g\in L^q$ $\Longrightarrow f\in L^p$ ?

Me las he arreglado para probar esto para $1\leq p<\infty$. Yo argumentaba de la siguiente manera:

En primer lugar, es fácil comprobar que $f$ debe ser finito en casi todas partes. Ahora defina $\nu(A)=\int_A |f|^p \,d\mu$ por cada $A\in\mathscr{M}$. Entonces también es fácil comprobar que $(X,\mathscr{M},\nu)$ $\sigma$- finito medir el espacio, y la afirmación es que esto es realmente un finito medir el espacio. Suponga $\nu(X)=\infty$ de la contradicción. Entonces existe una función medible $h$ tal que $$h\in L^p(X,\mathscr{M},\nu)\text{ for all }p>1,\text{ but }h\notin L^1(X,\mathscr{M},\nu).$$ A continuación, la función de $g=h|f|^{p-1}$ $L^q(X,\mathscr{M},\mu)$ pero tenemos $fg\notin L^1(X,\mathscr{M},\nu)$, una contradicción.

El caso de $p=\infty$ debe ser tratado por separado, pero no veo cómo debo proceder...

Este es un ejercicio de Jones' Lebesgue Integración en el Espacio Euclidiano, y el libro no contiene la teoría de espacios de Banach duales de espacios de representación de Riesz teorema, etc. La prueba de que estoy buscando es, por tanto, el evitar tales teorías avanzadas. Alguien puede mostrarme cómo manejar el caso de $p=\infty$ en un (relativamente) primaria manera? Cualquier consejo es bienvenido. Por favor me ilumine.

Answer 1

Supongamos $f$ es ilimitado. Nos gustaría mostrar que existe no negativo $g\in L^1$ tal que $f\cdot g \notin L^1$. Podemos suponer $f$ es no negativa y podemos reemplazar$f$, con una menor función tal que se cumple lo siguiente: existe una secuencia de distintos conjuntos de medida positiva $\{A_k\}_k$ tal que $k\leq f(x)<k+1$ siempre $x\in A_k$. Ahora para $x\in A_k$ definir $g (x):=\frac{1}{k^2\mu(A_k)}$ y definen $g(x) := 0$$x\notin \cup_{k=1}^\infty A_k$. A continuación, $g$ tiene las propiedades deseadas.