Mostrando que cada conectado conjunto abierto en un local de ruta de acceso conectado espacio es el camino conectado

Question

Estoy tratando de averiguar si mi prueba es correcta para una pregunta estoy tratando de abordar en la Topología de James R. Munkres.

Tarea: Vamos a $X$ ser localmente ruta de acceso conectado. Mostrar que cada conectado conjunto abierto en $X$ es la ruta de acceso conectado.

Mi intento en una prueba: Bien, cada subconjunto abierto de la ruta de acceso local conectado espacio de $X$ es localmente ruta de acceso conectado. Además, la ruta de los componentes y los componentes de la $X$ son de la misma en vista del Teorema $25.5$ (p. $162$), el cual establece que si un espacio de $X$ es localmente ruta de acceso conectado, a continuación, los componentes y los componentes de la ruta de $X$ son los mismos. En conjunto, esto implica que, a continuación, cada conectado conjunto abierto en $X$ es la ruta de acceso conectado.

Yo estoy en lo correcto, o tengo que hacer los cambios? Por favor, proporcione su entrada, gracias.

Answer 1

Esa es una típica conexión argumento. Como se ha señalado por muzzlator, fijar un punto de $x$ $\Omega$ abiertas conectado subconjunto. A continuación, considere la posibilidad de $\Omega_x$ el conjunto de puntos en $\Omega$ que son ruta de acceso conectado a $x$ dentro $\Omega$. Esto es no vacío como $x$ pertenece a ella. Esto está abierto en $\Omega$ locales de la ruta de acceso de la conexión. Y por la ruta de acceso local, de conexión, de nuevo, es fácil ver que la complementan $\Omega\setminus\Omega_x$ está abierto en $\Omega$. Por lo $\Omega_x$ es un vacío abierto/cerrado subconjunto de $\Omega$. Por lo tanto $\Omega_x=\Omega$. Tenga en cuenta que el hecho de que $\Omega$ está abierto se utiliza de forma implícita en ambos pasos.

Answer 2

Aquí está una manera alternativa. Deje $S$ ser el conjunto de todas las rutas accesibles desde un punto de $x$. Este es un conjunto abierto debido a la ruta de acceso local de la conectividad. El uso de esta para formar una desconexión de $X$ si $S$ no era el mismo que $X$.