¿Por qué tratamos de infinitesimals como los números reales en la integración por sustitución?

Question

Durante el proceso de integración por sustitución normalmente el tratamiento de infinitesimals como los números reales, a pesar de que me han hecho conscientes de que no son números reales, sino meramente simbólico, y, sin embargo, que todavía se puede, al parecer, los tratan como números reales. Por ejemplo, considere queremos integrar la expresión $3x(x^4+1)^3$. Una forma común de hacer esto es dejar que $u=x^4+1$ donde $\frac{du}{dx}=4x^3$, y por lo tanto $du=4x^3dx$ que es adecuadamente utilizado en nuestro sustitución para obtener el $\int3x(u)^4 du$, y luego simplemente directamente de integrar este nuevo integrando. Sin embargo, si bien entiendo el proceso y por qué lo hacemos de esa manera, estoy perplejo en cuanto a por qué todavía podemos rigurosamente el tratamiento de la infinitesimals como los números reales. Entonces, mi pregunta es si alguien puede elaborar exactamente por qué es lógicamente riguroso para el tratamiento de infinitesimals como los números reales durante la sustitución de la integración.

(Nota: Mi pregunta no se refiere a lo que "dx" significa en la integración simplemente porque mi pregunta es definido en la perspectiva de tratar infinitesimal derivados de ratios específicamente en la integración por sustitución, donde otras preguntas no se refieren específicamente. )

Answer 1

El problema es que hay un montón de teoría de la medida se esconde detrás de las "legítimas" de los cálculos. Si usted acaba de aprender cómo integrar funciones elementales, usted tiene mucho que aprender antes de llegar allí.

La clave en esto es el Radon-Nikodym Teorema que dice que si usted tiene dos medidas de $\mu,\nu$ en un espacio medible $X$ tal que $\mu$ es absolutamente continua con respecto a $\nu$, entonces existe una única función de densidad (que denotamos por a $\frac{d\mu}{d\nu}$) tal que para cualquier función de $g$ integrable con respecto al $\mu$$\nu$, $$ \int_X g \, d\mu = \int_X g \frac{d\mu}{d\nu} \, d\nu. $$ La función de $\frac{d\mu}{d\nu} : X \to \mathbb R$ se llama el Radon-Nikodym derivado de la $\mu$ con respecto al $\nu$.

Entonces, en otras palabras, en el riguroso tratamiento, la infinitesimals no son tratados como infinitamente pequeñas cantidades, sino más bien como medidas; mientras que haciendo un cambio de variables, se puede demostrar que el Radon-Nikodym derivado de obtener es, de hecho, la derivada de la función que se utiliza para el cambio de variables (es decir, en $du = f'(x) dx$, $\, f'(x) = \frac{du}{dx}$ donde $du$ $dx$ son dos medidas en la línea real y $u = f(x)$ ; $f$ debe ser un diffeomorphism).

Ahora, permítanme suponer que este no era satisfactorio para usted; está también el campo de las matemáticas llamado no-estándar de análisis, que se define hyperreal números; yo sugiero que busque en la página de la Wikipedia sobre esto para más detalles. Permite el tratamiento de infinitesimals como cantidades así que usted puede jugar con ellos.

Espero que ayude,

Answer 2

La justificación del método de sustitución para encontrar las integrales indefinidas es la regla de la cadena de derivados. Supongamos $F(x)$ es anti-derivado de la $f(x)$, de modo que $$F(x) = \int f(x)\,dx$$ and $F'(x) = f(x)$. Now if we put $x = g(t)$ then and apply chain rule we get $$\frac{d}{dt}\{F(g(t))\} = F'(g(t))g'(t) = f(g(t))g'(t)$$ and hence we get $$F(g(t)) = \int f(g(t))g'(t)\,dt$$ o la regla de sustitución para la integración indefinida.

Como usted puede ver que esto no tiene nada que ver con infinitesimals o diferenciales. Con el fin de memorizar esta regla nos dan a veces informal versión: Vamos a $x = g(t)$, de modo que $dx = g'(t)\,dt$ y, por tanto, $$\int f(x)\, dx = \int f(g(t))g'(t)\,dt$ $ de Modo que este tipo de lenguaje se utiliza sólo para ayudar a recordar la regla.

Es mejor no dar la $dx$ $d/dx$ $\int\,dx$ anotación de un significado propio. Ellos son los más adecuados para la ayuda en el recuerdo de las reglas de cálculo. Aunque es posible dar un significado formal a estos símbolos (lo que llamamos diferenciales) pero no conduce a ningún concepto, que es más útil que la de los productos derivados o integrales.

Answer 3

Las cosas funcionan de una vez todas las definiciones están hechas:

1. Se define lo que el diferencial es: $$df = f'(x) \, dx$$

2. Así que todas las reglas de las derivadas espera, incluyendo el cambio de variable (regla de la cadena): $$f'(g(x)) = f'(g) \cdot g'(x) \Rightarrow df = f'(g) \cdot g'(x) \, dx$$ o lo que es equivalente: $$\frac{df(g(x))}{dx} = \frac{df(g)}{dg} \cdot \frac{dg(x)}{dx}$$

3. Definimos (indefinido) la integración como proceso inverso a la derivación del operador. $$(Integral \, (f(x)))' = f(x)$$

4. Se define lo que se (definitiva) de la integral es: la suma del área de los rectángulos que superior y el límite inferior de la función. El más pequeño es el ancho del rectángulo que la mejor es la precisión del cálculo de la integral. Con el ancho de $\to 0$ podemos llamar a $dx$ a indicar es pequeña. Nos indican que el operador como $$\int_a^b f(x) \, dx$$

5. Usando el teorema fundamental del cálculo nos demuestran $Integral(f(x))$ operador da los mismos resultados de $\int_a^x f(t) dt$. Vamos a llamar de operador $\int f(x) \, dx$ para indicar que estamos interesados en la función y no se preocupan por la integración de r.

Ahora teóricos de la máquina es más y podemos demostrar el cambio de variable de la fórmula: $$ f(g) = f(g(t)) \Rightarrow \int df(g) = \int df(g(t)) \Rightarrow \int f'(g) \, dg = \int f'(g) \cdot g'(t) \, dt $$

Answer 4

Es más apropiado hablar acerca de los diferenciales de infinitesimals; en algunos libros que son tratados como lineal mapas.

Hay riguroso cálculo leyes que atañen a los diferenciales, tales como

$$d(u+v)=du+dv,$$ $$d(uv)=udv+vdu,$$ o $$\frac{du}{dv}\frac{dv}{dt}=\frac{du}{dt}.$$

Estas son las establecidas en la teoría de la derivación.

Resulta que algunos se parecen a operaciones reales, lo cual probablemente por qué esta notación ha sido adoptado. Por que no puede ciegamente extrapolar a otras operaciones (por decir como $\sqrt{du^2}=|du|$ ?!)