$\Large A $espués de la excavación de Lang y relacionados con las fuentes, que dice que el 2-ádico de valoración en $\mathbb{Q}$ puede ser extendido a $\mathbb{R}$.
Deje $(K, | \cdot|)$ ser ordenada campo y $L/K$ ser una extensión. Si cualquiera de los siguientes se mantiene, entonces hay una norma en $L$ extender $|\cdot|$.
- $L/K$ es Algebraicas
- $(K, |\cdot|)$ no es Achimedian
Por lo tanto $(\mathbb{R}, |\cdot|_2)$ es muy diferente de la conocida Euclidiana $(\mathbb{R}, ||\cdot||)$. E. g. $\sqrt{2}$ ya no pueden ser estimadas como el límite de los números racionales; es sólo la definición es la solución positiva de $x^2 = 2$. Mi conjetura es que usted simplemente se acuestan por los elementos de forma inductiva. Cuando usted encuentra un elemento en $\mathbb{R}$ no en su extensión.
Esto puede ser una importante penetración en Monsky el problema de que los naturales de la topología en $[0,1]^2 \subset \mathbb{R}^2$ para este problema. El uso de la 2-ádico norma, Monsky particiones de la unidad cuadrados en 3 subconjuntos:
- $A = \{ (x,y): ||x|| < 1 \text{ and } ||y|| < 1\;\;\;\;\,\}$
- $B = \{ (x,y): ||x|| > 1 \text{ and } ||x|| > ||y||\}$
- $C = \{ (x,y): ||y|| > 1 \text{ and } ||y|| > ||x||\}$
En la norma Euclídea, estos subconjuntos (que representan los vértices de los triángulos) son densos en la plaza de la unidad
Piense acerca de esto, es muy fácil dibujar una partición de un cuadrado en forma de triángulos. ¿Cómo puede ser que ninguno de ellos tienen igual área? Usted podría tratar de dibujar un arreglo de triángulos con algunos parámetros; a continuación, tienen alguna relación que puede resolver. Monsky muestra incluso con estas ecuaciones se puede encontrar ninguna solución.
A Partir De Los Comentarios:
No veo cuál es el problema con la definición de R como la culminación de Q bajo de arquímedes métrica, y después de pedir una extensión de no arquimedianos métrica a esta conclusión. Tenga en cuenta que no estamos pidiendo a R a ser completa w.r.t. a esta ampliación de la métrica.
Usted puede tomar 2-ádico de la finalización de la prórroga $K/\mathbb{Q}$, pero esta extensión no puede ser única. Para garantizar la existencia de una finalización más de $\mathbb{R}$, el axioma de elección puede ser requerido.
El ejemplo sugiere, claramente las raíces de 2 necesitan atención especial, posiblemente $|\sqrt[n]{2}|_2 = \frac{1}{2^{1/n}}$ pero hay más extrañas así:
$$ 2 = (3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7}) \text{ so that } |3 + \sqrt{7}|_2 |3 - \sqrt{7}|_2 = \tfrac{1}{2}$$
Probablemente ambos son $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Por lo que esta valoración ha de ser extendido real algebraica de los números enteros $\overline{\mathbb{Q}} \cap \mathbb{R}$.
Monsky del papel dice que sólo necesita extender $\mathbb{Q}$ por las coordenadas de la $m$ vértices. Esta es una finito de extensión, aunque no se sabe cuáles son a priori.
También debemos señalar que incluso las disecciones son posibles, pero ese no es el problema que te preocupa.
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Wikipedia tiene los debates sobre algunos equidissection problemas y la Dehn Invariante relacionados con Hilbert 3er problema.
