Simple ecuación funcional $\frac{f(a)-f(b)}{a-b}\cdot(-a)+f(a)=-ab$

Question

Calcular todas las funciones con valores de $f$, de modo que la línea entre dos puntos en el gráfico de $f$ cruza la $x$-eje en el producto de esos dos puntos' $x$-las coordenadas de los tiempos de $-1$.

(si hacemos algunos simplifing, sólo tenemos todas las funciones, de modo que $\frac{f(a)-f(b)}{a-b}\cdot(-a)+f(a)=-ab$ para todos los puntos de $a$$b$)

Podemos ver que $f(x)=x^2$ obras, y también podemos ver que $f(0)=0$. Si asumimos $x$ a ser un polinomio y deje $f(x)=x\cdot Q(x)$, entonces podemos hacer algo de manipulación y ver que $\frac{Q(a)-Q(b)}{a-b}=1$, a partir de la cual podemos ver que $Q(x)=x+c$, lo que podemos encontrar fácilmente $f(x)=x^2$ es la única solución.

Pero lo que si $f$ no es un polinomio (y no podemos suponer $f(x)=x\cdot Q(x)$)? Mirando el Polinomio de Taylor de $f$, parece que en este caso no demasiado, pero no puedo demostrar rigurosamente.

Gracias

Answer 1

Un truco común es considerar la diferencia de cualquiera de las dos funciones. En este caso, vamos a $h(x) = f(x) - g(x)$ donde $f$ $g$ tanto para satisfacer su ecuación funcional. Entonces podemos determinar que $\displaystyle \frac{h(a)-h(b)}{a-b}(-a)+h(a) = 0$, y, por tanto, $ah(b) = bh(a)$ todos los $a$$b$. Sustituyendo en la $1$$b$, obtenemos $h(a) = ah(1)$, y por lo tanto $h(x) = cx$ para algunas constantes $c$. Desde $f(x) = x^2$ es una solución, todas las soluciones deben ser, por tanto, los polinomios de la forma $f(x) = x^2 + cx$.

Edit: Originalmente, este dijo que para aplicar el protocolo facultativo de la obra anterior, en este punto, pero todas esas funciones $f(x) = x^2+cx$ son en realidad soluciones a la ecuación funcional en cuestión, como se puede comprobar por la sustitución.

Answer 2

$\frac{f(a)-f(b)}{a-b}\cdot(-a)+f(a)=-ab$ es equivalente a $bf(a)-af(b)=ab(a-b)$. Poner $a=0,b\neq 0$ conseguir $f(0)=0$. A continuación, elija $a$ constante tal que $f(a)=c\neq 0$ (constante cero no funciona aquí) y obtener $$ bc-af(b)=a^2b-b^2a$$ dividir por $a$ (que no es cero) y ha $f(b)=b^2+bc/a-ab$, pero $a,c$ son constantes por lo $f(b)=b^2+kb$. Verificamos y esto funciona.

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Nota: la verificación al final es importante. En la Olimpiada Internacional de Matemáticas (la parte superior de la competencia por los estudiantes antes de la universidad) que pierde un punto por defecto, si no se verifica la solución de una ecuación funcional en la final.

Answer 3

Esto es sólo una variante leve de la respuesta de Beni Bogosel.

La ecuación funcional dada implica $bf(a)-af(b)=ab(a-b)$ % todo $a$y $b$, así particularmente si $a=x$ y $b=1$, en cuyo caso se convierte en $f(x)-xf(1)=x(x-1)$, que puede ser reescrita como $f(x)=x(x+c)$ donde $c=f(1)-1$. Así que si hay es una función que satisface la ecuación funcional, entonces debe ser de la forma $f(x)=x(x+c)$, que, por supuesto, ha sido verificado para trabajar.