Dada una 'medida' $\lambda$ sobre un álgebra $\mathcal{A}$ de los conjuntos de Caratheodory da una manera de extender esta $\lambda$ $\sigma$- álgebra.
La idea es definir una medida exterior (en todos los subconjuntos) $\lambda^*$ \begin{equation}\lambda^*(E)=\operatorname{inf} \Sigma\lambda(A_j),\end {equation} donde el $\operatorname{inf}$ se toma sobre todos los contables de los revestimientos de $E$ uso de conjuntos en $\mathcal{A}$. A continuación, una muestra de que la colección de subconjuntos de la satisfacción de las Caratheodory condición \begin{equation}\lambda^*(E)=\lambda^*(E\cap A)+\lambda^*(E\backslash A)\end{equation} para todas las $E$ formas un $\sigma$-álgebra, decir $\mathcal{A}^*$, e $\lambda^*$ restringido a esta $\mathcal{A}^*$ es de hecho una medida.
Así que mi pregunta es, cuánto más grande es esto $\mathcal{A}^*$$\mathcal{A}$? Sabemos $\mathcal{A}^*$ contiene $\sigma(\mathcal{A})$, $\sigma$- álgebra generada por $\mathcal{A}$, y contiene todas las nulo conjuntos. Pero puede ser aún más grande que esta?
En el caso de la medida de Lebesgue, comenzamos con el álgebra de todas las "cajas" terminó de Lebesgue medibles conjuntos, que son a su vez de la unión de los conjuntos de $\sigma$(cajas) y null conjuntos. De modo que la diferencia de $\mathcal{A}^*$ $\sigma(\mathcal{A})$ es exactamente el nulo conjuntos.
Pero puede $\mathcal{A}^*$ ser significativamente mayor que $\sigma(\mathcal{A})$?
Gracias!
