Según mi libro debería ser un número real, y según WolframAlpha debería ser $1+1.73i$
¿Cuál es la respuesta correcta?
Las raíces cúbicas de $-8$ son: $$ 2e^{i\pi/3}=2(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}) \qquad 2e^{i\pi}=-2 \qquad 2e^{i2\pi/3}=2(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}) $$
parece que WolframAlpha considera como raíz principal la raíz con el valor mínimo del argumento, es decir $e^{i\pi/3}$ pero normalmente, si hay una raíz real, ésta se considera la raíz principal.
Esta es una buena explicación sólo un detalle: W|A considera como principal raíz la obtenida de la principal argumento (que W|A parece tomar en $(-\pi, \pi]$ ) por lo que el valor mínimo del argumento es potencialmente engañoso.
No estoy seguro de que WA tome valores en $(-\pi,\pi]$ pero, en este caso parece que WA define como valor principal el valor con el valor mínimo positivo del argumento.
Los matemáticos (a diferencia de los escritores de libros de texto elementales) consideran los números complejos. Para que el valor principal de la raíz cúbica sea continuo en una región lo más amplia posible del plano complejo, y para que coincida con la raíz cúbica convencional para los números positivos, eligen la raíz cúbica con argumento en $(-\pi/3 , \pi/3]$ . Esto encaja con una elección sistemática del valor principal para el logaritmo, la arctangente y otros.
Hay tres raíces cúbicas complejas de $-8$ .
A saber: $2 e^{i \pi/3}$ , $2 e^{i (\pi+2 \pi) /3}$ , $2 e^{i (\pi+4 \pi) /3} $ . Esto se consigue utilizando la(s) forma(s) polar(es) de $-8$ Es decir $8 e^{i \pi}$ y en general $8 e^{i (\pi+ 2k\pi)}$ para $k $ y enteros.
La del medio es $-2$ y el primero es el que da Wolfram Alpha.
La razón por la que W|A hace esa elección es que considera como raíz principal aquella en la que el argumento principal de $-8$ Es decir $\pi$ se divide por $3$ .
El razonamiento de su libro debería ser que quieren ser raíces cúbicas de los reales para ser reales.
Es una cuestión de definición/convenio. En cierto sentido, prefiero la primera, pero también utilizaría la segunda en el contexto adecuado.
En cualquier caso, debes seguir tu libro o hablar con tu instructor al respecto, ya que de lo contrario habrá confusión.
En $\mathbb R$ la raíz cúbica de $-8$ es $-2$ . No es necesario el concepto de "raíz principal".
Así, el término "raíz cúbica principal" implica que el campo de interés es $\mathbb C$ no $\mathbb R$ . Y entonces, según este artículo de Wikipedia la raíz cúbica principal de $z$ suele definirse como $\exp(\frac13\log z)$ donde se toma la rama principal del logaritmo. Esta interpretación da $1 + i\sqrt 3$ como la raíz cúbica principal de $-8$ .
Por cierto, ¿te has dado cuenta de que Wolfram Alpha tiene esto cubierto ? Te permite elegir:
Asumir la raíz principal | Utilizar la raíz de valor real en su lugar
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
0 votos
Ver es.wikipedia.org/wiki/Valor_principal
0 votos
Relacionado: El gráfico de x^(1/3) tiene un rango de 0-inf en Mathematica y R