cómo colocar una cuerda con una longitud determinada dentro de un triángulo ortogonal (ver imagen)

Question

Me gustaría saber cuál es la forma óptima de colocar la cuerda roja de una longitud determinada $p$ , donde $\sqrt{2}<p<2$ en el triángulo ortogonal ABCA, de forma que se minimice el área verde (ver figura adjunta). Una condición es que la cuerda junto con el segmento AB debe formular un conjunto convexo.

Entonces, ¿existe una única forma óptima de colocar la cuerda? ¿Hay sólo dos formas óptimas posibles (simétricas)? ¿Hay más? ¿Hay infinitas? ¿Por qué? Y lo más importante, ¿cuál es el valor del área minimizada, para una longitud dada $p$ ?

Sólo por intuición, diría que colocaría la cuerda durante parte de su porción al lado del segmento AC (sólo durante una pequeña porción) y luego iría en tiro recto hasta el punto B (o haría la trayectoria simétrica yendo en tiro recto desde el punto A hasta algún punto de CB y luego bajaría hasta el punto B al lado de CB). Se permite que partes de la cuerda se sitúen en el perímetro del triángulo ABCA, pero no se permite que sobrepasen el perímetro del triángulo. La cuerda también puede colocarse de forma que presente esquinas, siempre que forme un conjunto convexo con el segmento AB.

Los extremos de la cuerda se clavan en los puntos A y B.

Gracias por sus comentarios.

Answer 1

Resolvamos primero el problema para polilíneas con un número fijo (posiblemente alto) de nodos $P_0=A, P_1, \ldots, P_n=B$ . Las condiciones de que la polilínea tenga la longitud deseada ans sea convexa y esté dentro del triángulo dado son cerradas, por lo que el conjunto de tuplas $(P_1,\ldots, P_n)$ es compacto. Como el área en cuestión es una función continua del $P_i$ concluimos que el mínimo se alcanza realmente. Sea $S_n(p)$ sea el área mínima obtenible con una polilínea de $n$ nodos.

Considere lo que sucede si movemos un nodo $P_i$ (el nodo superior en la siguiente ilustración) de una polilínea. Por la condición de longitud, $P_i$ se restringe a un arco elíptico con focos $P_{i-1}$ y $P_{i+1}$ (elipsis roja). La elipsis puede degenerar en un segmento de línea, en cuyo caso $Pi$ debe estar en $P_{i-1}P_{i+1}$ y es redundante. Supongamos que este no es el caso. Por la condición de convexidad, $P_i$ está limitada en su posición por las prolongaciones de $P_{i-2}P_{i-1}$ y de $P_{i+2}P_{i+1}$ (segmentos de línea roja). Del mismo modo, en el caso de $i=1$ o $i=n-1$ tenemos los lados del triángulo $AC$ o $BC$ como líneas rojas.

Si se mueve $P_i$ bajo estas restricciones puede hacer que el triángulo verde sea más pequeño, también hacemos que el área total encerrada sea menor. Para una polilínea minimizadora, esto no es posible. Concluimos que en una polilínea minimizadora, $P_i$ está en una de las dos intersecciones de las líneas rojas con la elipsis, es decir, o bien $P_{i-1}$ está en el segmento de línea $P_{i-2}P_i$ o $P_{i+1}$ está en el segmento de línea $P_iP_{i+2}$ (o, en caso de $i=1$ : $P_1$ está en $AC$ o, en caso de que $i=n-1$ : $P_{n-1}$ está en $BC$ ). Por lo tanto, si $1<i<n-1$ Uno de los puntos $P_{i-1},P_i,P_{i+1}$ es redundante.

Concluimos que el resultado óptimo para polilíneas con $n\gg1$ es el mismo que el óptimo para $n=3$ es decir, $$ S_n(p)=S_3(p)\qquad \text{for }n\ge 3.$$ Y para esto último, sólo tenemos que considerar los casos en los que $P_1\in AC$ y $P_2\in BC$ .

Por lo tanto, el óptimo sobre todo polilíneas se parece un poco a esto:

Dejemos que $\theta=\angle P_2P_1C$ . Tenga en cuenta que $\angle CP_2P_1=90^\circ -\theta$ . Se mueve infinitesimalmente $P_1$ para que $u$ cambia por una cantidad infinitesimal $\mathrm du$ cambiará $v$ por $-\cos\theta\, \mathrm du$ y la zona verde por $\frac 12 v \sin\theta\, \mathrm du$ . Asimismo, el cambio de $w$ por un infinitesimal $\mathrm dw$ cambiará $v$ por $-\sin\theta\, \mathrm dw$ y la zona verde por $\frac 12 v \cos\theta\, \mathrm dw$ . Con el fin de mantener $p$ constante, debemos tener $(1-\cos\theta)\mathrm du+(1-\sin\theta)\mathrm d w=0$ . Esto hace que el cambio en el área $$ \begin{align}\mathrm dA &= \frac 12 v \sin\theta\, \mathrm du+\frac 12 v \cos\theta\, \mathrm dw\\ &=\frac v2\left(\sin\theta\,\mathrm du+\cos\theta\,\mathrm dw\right)\\ &=\frac v2\left(\sin\theta\,\mathrm du-\frac{1-\cos\theta}{1-\sin\theta}\cos\theta\,\mathrm du\right)\\ &=\left(\sin\theta(1-\sin\theta)-\cos\theta(1-\cos\theta)\right)\frac{v\,\mathrm du}{2(1-\sin\theta)}\\ &=(\sin\theta-\cos\theta)(1-\sin\theta-\cos\theta)\frac{v\,\mathrm du}{2(1-\sin\theta)}\\\end{align}$$ Tenga en cuenta que $1-\sin\theta-\cos\theta<0$ para $0^\circ <\theta<90^\circ$ . Por lo tanto, $\frac{\mathrm dA}{\mathrm du}$ es negativo si $\sin\theta<\cos\theta$ y positivo si $\sin\theta>\cos\theta$ . Concluimos que el mínimo se alcanza cuando y sólo cuando $\sin\theta=\cos\theta$ es decir, cuando $P_1P_2\|AB$ . Sea $h$ sea la altura del trapecio $ABP_2P_1$ . Entonces su resultado final es $\sqrt 2$ y su parte superior es $v=\sqrt 2-2h$ . También, $u=w=h\sqrt 2$ para que $$h=\frac{p-\sqrt 2}{2\sqrt 2-2} $$ y en última instancia $$ S_3(p)=h\cdot\frac{v+\sqrt 2}{2}=\frac{-p^2+4p+2-4\sqrt 2}{12-8\sqrt 2}.$$ Se comprueba que esta cuadrática es una función creciente de $p\in[\sqrt 2, 2]$ .

Por último, señalemos que la restricción a las polilíneas no plantea problemas: Supongamos una curva arbitraria de longitud $p$ produce un área $\tilde S <S_3(p)$ . Entonces esta curva puede ser aproximada por una polilínea circunscrita y ligeramente más larga de longitud $p'>p$ con un área $\tilde S'$ que supera a la de la curva en una cantidad arbitrariamente pequeña (si tomamos un número de nodos suficientemente grande). En particular, seguimos teniendo $S_3(p')\le \tilde S'<S_3(p)$ , contradiciendo el hecho de que $S_3$ es estrictamente creciente.

Por lo tanto, en última instancia

$$ {S_{\text{opt}}(p)=\frac{-p^2+4p+2-4\sqrt 2}{12-8\sqrt 2}}$$

y se alcanza el óptimo para el trapecio.

Answer 2

Aquí hay una función que podría acercarse tanto como desee a 0 - $3*e^(-100*x^2)$

El 3 y el 100 son sólo parámetros que puede elegir para adaptarse a la longitud de la cuerda.